Comparación de velocidades relativas de dos sólidos

Enunciado

Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “0”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{01}^{B}=v_{0}{\vec {\imath }}$

El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es

${\overrightarrow {AB}}=a{\vec {\jmath }}$

Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante.

Halle las velocidades relativas ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{02}^{B}$ en los siguientes casos:

1. Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
2. La vagoneta A se mueve por una vía circular de radio $R$, mientras que B se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
3. Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios $R$ y $R+a$, respectivamente.
4. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio $R$ con centros en lados opuestos
5. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio $R$ con centros hacia el mismo lado

(1)	(2)	(3)
(4)	(5)

Introducción

A primera vista, este problema parece demasiado sencillo. Si se mueven paralelamente a la misma velocidad, su velocidad relativa será nula, ¿no?

No.

Al moverse en trayectorias circulares, los ejes de una o las dos vagonetas van rotando y esto provoca diferencias en las velocidades medidas por cada uno. Por ello, vamos a analizar cinco casos diferentes.

Vías paralelas

Este es el caso más sencillo posible.

Velocidad de B respecto de A

La velocidad de B vista por A es

${\vec {v}}_{02}^{B}={\vec {v}}_{01}^{B}+{\vec {v}}_{12}^{A}+{\vec {\omega }}_{12}\times {\overrightarrow {AB}}$

Puesto que la vagoneta A se mueve en línea recta

${\vec {\omega }}_{12}=-{\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}$

y la velocidad de A como punto del sólido 1 respecto al 2 es

${\vec {v}}_{12}^{A}=-{\vec {v}}_{21}^{A}=-v_{0}{\vec {\imath }}$

por lo que la velocidad relativa es, como cabe esperar

${\vec {v}}_{02}^{B}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}={\vec {0}}$

Velocidad de A respecto de B

La velocidad de A medida por B es, aplicando el mismo razonamiento, pero intercambiado subíndices, es

${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {v}}_{10}^{B}+{\vec {\omega }}_{10}\times {\overrightarrow {BA}}$

Dado que la vagoneta B también se mueve en línea recta

${\vec {\omega }}_{10}=-{\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}$

y la velocidad de B como punto del sólido 1 respecto al 0 es

${\vec {v}}_{10}^{B}=-{\vec {v}}_{01}^{B}=-v_{0}{\vec {\imath }}$

por lo que la velocidad relativa es, de nuevo,

${\vec {v}}_{20}^{A}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}={\vec {0}}$

Hasta aquí lo que cabía esperar.

Una vía rectilínea y otra circular

Velocidad de B respecto de A

Aplicando la misma fórmula que antes

${\vec {v}}_{02}^{B}={\vec {v}}_{01}^{B}+{\vec {v}}_{12}^{A}+{\vec {\omega }}_{12}\times {\overrightarrow {AB}}$

La velocidad de A como punto del sólido 1 respecto al 2 es

${\vec {v}}_{12}^{A}=-{\vec {v}}_{21}^{A}=-v_{0}{\vec {\imath }}$

lo que nos deja con

${\vec {v}}_{02}^{B}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}+{\vec {\omega }}_{12}\times {\overrightarrow {AB}}=-{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}$

pero ahora ${\vec {\omega }}_{21}$ no es nulo, puesto que A está describiendo una trayectoria circular de radio R. Su velocidad angular va en la dirección del eje de giro, perpendicular al plano horizontal

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$

y su módulo es tal que nos da la velocidad de A

$v_{0}{\vec {\imath }}={\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}=(\omega _{21}{\vec {k}})\times (R{\vec {\jmath }})=-\omega _{21}R{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{21}=-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}$

Por tanto la velocidad relativa de B respecto de A es

${\vec {v}}_{02}^{B}=-\left(-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}\right)\times (a{\vec {\jmath }})=-{\frac {v_{0}a}{R}}{\vec {\imath }}$

esto es, un observador situado en la vagoneta A ve moverse a la vagoneta B hacia atrás.

Para imaginar esto tenemos que pensar que somos pasajeros situados dentro del vagón A que miramos por la ventana, siempre perpendicularmente al cristal. Puesto que nuestro vagón está efectuando una curva, nuestra línea de visión (que es radial) adelanta más que lo que se mueve la vagoneta B y por ello la vemos retroceder.

Velocidad de A respecto de B

Uno pensaría que si A ve moverse a B hacia atrás, B verá a A moverse hacia adelante. Pues no.

La velocidad de A medida por B es exactamente igual que en el primer caso

${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {v}}_{10}^{B}+{\vec {\omega }}_{10}\times {\overrightarrow {BA}}$

Puesto que la vagoneta B sigue moviéndose en línea recta

${\vec {\omega }}_{10}=-{\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}$

siendo la velocidad de B como punto del sólido 1 respecto al 0

${\vec {v}}_{10}^{B}=-{\vec {v}}_{01}^{B}=-v_{0}{\vec {\imath }}$

por lo que la velocidad relativa es, como en el primer caso,

${\vec {v}}_{20}^{A}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}={\vec {0}}$

esto es, no solo no es que los dos no se ven en reposo, sino que las velocidades relativas no son ni siquiera opuestas:

${\vec {v}}_{02}^{B}\neq -{\vec {v}}_{20}^{A}$

Dos vías concéntricas

Velocidad de B respecto de A

El cálculo es exactamente el mismo que en el apartado anterior, ya que la velocidad angular de A es la misma. El resultado es

${\vec {v}}_{02}^{B}=-\left(-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}\right)\times (a{\vec {\jmath }})=-{\frac {v_{0}a}{R}}{\vec {\imath }}$

Velocidad de A respecto de B

La velocidad relativa medida por B no es nula, ya que también B se encuentra rotando. Su velocidad angular se calcula como la de A y resulta

${\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {v_{0}}{R+a}}{\vec {k}}$

La velocidad de A medida por B será entonces

${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {v}}_{10}^{B}+{\vec {\omega }}_{10}\times {\overrightarrow {BA}}$

con

${\vec {v}}_{10}^{B}=-{\vec {v}}_{01}^{B}=-v_{0}{\vec {\imath }}$

y obtenemos

${\vec {v}}_{20}^{A}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}-\left(-{\frac {v_{0}}{R+a}}{\vec {k}}\right)\times \left(-a{\vec {\jmath }}\right)={\frac {v_{0}a}{R+a}}{\vec {\imath }}$

Según esto, A ve moverse a B hacia atrás y B moverse a A hacia adelante, pero con una velocidad diferente. De nuevo

${\vec {v}}_{02}^{B}\neq -{\vec {v}}_{20}^{A}$

Circunferencias opuestas

En este caso volvemos a tener la misma velocidad de B respecto de A

${\vec {v}}_{02}^{B}=-\left(-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}\right)\times (a{\vec {\jmath }})=-{\frac {v_{0}a}{R}}{\vec {\imath }}$

Lo único que cambia es la velocidad angular de B respecto al suelo, que es ahora

${\vec {\omega }}_{01}={\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}$

Cambia el signo, ya que gira en sentido contrario. La velocidad de A medida por B será entonces

${\vec {v}}_{20}^{A}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}-\left({\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}\right)\times \left(-a{\vec {\jmath }}\right)=-{\frac {v_{0}a}{R}}{\vec {\imath }}$

En este caso A ve moverse a B hacia atrás y B moverse a A también hacia atrás. La situación es completamente simétrica. Sigue cumpliéndose que

${\vec {v}}_{02}^{B}\neq -{\vec {v}}_{20}^{A}$

Circunferencias desplazadas

De nuevo volvemos a tener la misma velocidad de B respecto de A

${\vec {v}}_{02}^{B}=-\left(-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}\right)\times (a{\vec {\jmath }})=-{\frac {v_{0}a}{R}}{\vec {\imath }}$

Aquí también lo único que cambia es la velocidad angular de B respecto al suelo

${\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}$

lo que nos da la velocidad relativa

${\vec {v}}_{20}^{A}=v_{0}{\vec {\imath }}-v_{0}{\vec {\imath }}-\left(-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}\right)\times \left(-a{\vec {\jmath }}\right)={\frac {v_{0}a}{R}}{\vec {\imath }}$

Ahora sí se cumple que A ve moverse a B hacia atrás y B ve a A moverse hacia adelante con la misma velocidad, eso sí, no miden velocidades nulas, pese a que para un observador externo, situado en el suelo, ambas vagonetas se miden exactamente con la misma velocidad.

De hecho, jugando con los radios y las orientaciones de las circunferencias, puede conseguirse que aunque la velocidad medida por un observador externo sea la misma para ambas vagonetas, la velocidad de A respecto de B sea la que nosotros queramos, y la de B respecto de A otra completamente distinta, también arbitraria.