Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L}
) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega}
, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ}
(sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O}_{20}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{O}_{20}}
;
El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.
Velocidad y aceleración angular
Velocidad angular
En este caso tenemos la descomposición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {20} = {21}+ {10}}
La velocidad angular es la suma de las de los dos movimientos relativos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}}
La velocidad angular del movimiento {21} va en la dirección del eje OX
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega\vec{\imath}}
La del movimiento {10} es igual en magnitud, y de sentido opuesto a la del movimiento {01}, que es el dato que se nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{10}=-\vec{\omega}_{01}=-(-\omega\vec{\jmath})=\omega\vec{\jmath}}
por lo que la velocidad angular absoluta vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})}
Aceleración angular
Para las aceleraciones angulares tenemos la ley de composición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}}
La aceleración angular del movimiento {21} es nula, por ser una rotación con velocidad angular constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{0}}
Lo mismo ocurre con la del movimiento {10}, ya que en este movimiento, el ventilador 0 “ve” al sistema “1” rotar con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{10}=\vec{0}}
Las velocidades angulares que aparecen en el último término son vectores ya conocidos, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}=(\omega\vec{\jmath})\times(\omega\vec{\imath})=-\omega^2\vec{k}}
Velocidad y aceleración
Velocidad
La velocidad del punto O en el movimiento {20} se puede descomponer como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}}
La velocidad de O en el movimiento {21} es la de una rotación en torno a un eje que pasa por B
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=(\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})=-L\omega\vec{k}}
La velocidad del mismo punto en el movimiento {10} es otra rotación, en este caso en torno a un eje que pasa por A
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{10}=\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO}=(\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})=L\omega\vec{k}}
Sumando las dos contribuciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{20}=-L\omega\vec{k}+L\omega\vec{k}=\vec{0}}
El punto O se encuentra en reposo instantáneo en el movimiento {20}.
Aceleración
La fórmula correspondiente para la composición de aceleraciones la da el teorema de Coriolis
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{20}=\vec{a}^O_{21}+\vec{a}^O_{10}+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}}
La aceleración de O en el movimiento {21} es la correspondiente a una rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por B
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{21}=\overbrace{\vec{a}^B_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{21}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})}
Sustituyendo la velocidad angular y el vector de posición relativo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{21}=(\omega\vec{\imath})\times((\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})) = \omega^2L\vec{\jmath}}
Del mismo modo, la aceleración de O en el movimiento {10} es la de un movimiento de rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por A
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{10}=\overbrace{\vec{a}^A_{10}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{10}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{10}\times(\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO})}
Sustituyendo la nueva velocidad angular y el correspondiente vector de posición relativo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{10}=(\omega\vec{\jmath})\times((\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})) = \omega^2L\vec{\imath}}
Por último, para el término de Coriolis tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}=2(\omega\vec{\jmath})\times(\omega L\vec{k}) = -2\omega^2L\vec{\imath}}
Sumando las tres contribuciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{20}=\omega^2L\vec{\jmath}+\omega^2L\vec{\imath} -2\omega^2L\vec{\imath}=\omega^2L(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})}
Eje instantáneo de rotación
El eje instantáneo de rotación es el que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{20}=\vec{0}\,\,;}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})}
por lo que el EIR es el que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})}
Supongamos que no conociéramos por el apartado anterior que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{20}=\vec{0}}
. ¿Podríamos haber determinado de forma sencilla la posición del EIR {20}? Sí. Observemos que los ejes de rotación de los movimientos {21} y {10} se cortan en el punto C de posición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=L\vec{\imath}+L\vec{\jmath}}
Por el teorema de Varignon, la composición de dos rotaciones sobre ejes concurrentes es otra rotación cuyo eje pasa por el punto de corte. Por tanto el movimiento {20} es necesariamente una rotación cuyo EIR pasa por C, ya que la velocidad absoluta de C es nula, por serlo la relativa y la de arrastre:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}=\overbrace{\vec{v}^C_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{v}^C_{10}}^{=\vec{0}} = \vec{0}}
La dirección del EIR la da la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}}
, de forma que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}= \lambda\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})}
La posición del eje respecto al origen del sólido 1 es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}=(L+\lambda\omega)\vec{\imath}+(L+\lambda\omega)\vec{\jmath}=\mu\vec{\imath}+\mu\vec{\jmath}}
