Movimiento relativo de dos ventiladores

Enunciado

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia $L$) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a $\omega$, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo $OXYZ$ (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine

1. ${\vec {\omega }}_{20}$ y ${\vec {\alpha }}_{20}$
2. ${\vec {v}}_{20}^{O}$ y ${\vec {a}}_{20}^{O}$;
3. El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.

Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

Velocidad y aceleración angular

Velocidad angular

En este caso tenemos la descomposición

${20}={21}+{10}$

La velocidad angular es la suma de las de los dos movimientos relativos

${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}+{\vec {\omega }}_{10}$

La velocidad angular del movimiento {21} va en la dirección del eje OX

${\vec {\omega }}_{21}=\omega {\vec {\imath }}$

La del movimiento {10} es igual en magnitud, y de sentido opuesto a la del movimiento {01}, que es el dato que se nos da

${\vec {\omega }}_{10}=-{\vec {\omega }}_{01}=-(-\omega {\vec {\jmath }})=\omega {\vec {\jmath }}$

por lo que la velocidad angular absoluta vale

${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}+{\vec {\omega }}_{10}=\omega ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})$

Aceleración angular

Para las aceleraciones angulares tenemos la ley de composición

${\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {\alpha }}_{10}+{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {\omega }}_{21}$

La aceleración angular del movimiento {21} es nula, por ser una rotación con velocidad angular constante

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {0}}$

Lo mismo ocurre con la del movimiento {10}, ya que en este movimiento, el ventilador 0 “ve” al sistema “1” rotar con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo

${\vec {\alpha }}_{10}={\vec {0}}$

Las velocidades angulares que aparecen en el último término son vectores ya conocidos, por lo que

${\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {\omega }}_{21}=(\omega {\vec {\jmath }})\times (\omega {\vec {\imath }})=-\omega ^{2}{\vec {k}}$

Velocidad y aceleración

Velocidad

La velocidad del punto O en el movimiento {20} se puede descomponer como

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {v}}_{10}^{O}$

La velocidad de O en el movimiento {21} es la de una rotación en torno a un eje que pasa por B

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}}=(\omega {\vec {\imath }})\times (-L{\vec {\jmath }})=-L\omega {\vec {k}}$

La velocidad del mismo punto en el movimiento {10} es otra rotación, en este caso en torno a un eje que pasa por A

${\vec {v}}_{10}^{O}={\vec {\omega }}_{10}\times {\overrightarrow {AO}}=(\omega {\vec {\jmath }})\times (-L{\vec {\imath }})=L\omega {\vec {k}}$

Sumando las dos contribuciones

${\vec {v}}_{20}^{O}=-L\omega {\vec {k}}+L\omega {\vec {k}}={\vec {0}}$

El punto O se encuentra en reposo instantáneo en el movimiento {20}.

Aceleración

La fórmula correspondiente para la composición de aceleraciones la da el teorema de Coriolis

${\vec {a}}_{20}^{O}={\vec {a}}_{21}^{O}+{\vec {a}}_{10}^{O}+2{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {v}}_{21}^{O}$

La aceleración de O en el movimiento {21} es la correspondiente a una rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por B

${\vec {a}}_{21}^{O}=\overbrace {{\vec {a}}_{21}^{B}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} ^{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {BO}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}})$

Sustituyendo la velocidad angular y el vector de posición relativo

${\vec {a}}_{21}^{O}=(\omega {\vec {\imath }})\times ((\omega {\vec {\imath }})\times (-L{\vec {\jmath }}))=\omega ^{2}L{\vec {\jmath }}$

Del mismo modo, la aceleración de O en el movimiento {10} es la de un movimiento de rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por A

${\vec {a}}_{10}^{O}=\overbrace {{\vec {a}}_{10}^{A}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{10}} ^{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {AO}}+{\vec {\omega }}_{10}\times ({\vec {\omega }}_{10}\times {\overrightarrow {AO}})$

Sustituyendo la nueva velocidad angular y el correspondiente vector de posición relativo

${\vec {a}}_{10}^{O}=(\omega {\vec {\jmath }})\times ((\omega {\vec {\jmath }})\times (-L{\vec {\imath }}))=\omega ^{2}L{\vec {\imath }}$

Por último, para el término de Coriolis tenemos

$2{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {v}}_{21}^{O}=2(\omega {\vec {\jmath }})\times (\omega L{\vec {k}})=-2\omega ^{2}L{\vec {\imath }}$

Sumando las tres contribuciones

${\vec {a}}_{20}^{O}=\omega ^{2}L{\vec {\jmath }}+\omega ^{2}L{\vec {\imath }}-2\omega ^{2}L{\vec {\imath }}=\omega ^{2}L(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})$

Eje instantáneo de rotación

El eje instantáneo de rotación es el que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {0}}\,\,;$    ${\vec {\omega }}_{20}=\omega ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})$

por lo que el EIR es el que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente

${\overrightarrow {OI}}=\lambda \omega ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})$

Supongamos que no conociéramos por el apartado anterior que ${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {0}}$. ¿Podríamos haber determinado de forma sencilla la posición del EIR {20}? Sí. Observemos que los ejes de rotación de los movimientos {21} y {10} se cortan en el punto C de posición

${\overrightarrow {OC}}=L{\vec {\imath }}+L{\vec {\jmath }}$

Por el teorema de Varignon, la composición de dos rotaciones sobre ejes concurrentes es otra rotación cuyo eje pasa por el punto de corte. Por tanto el movimiento {20} es necesariamente una rotación cuyo EIR pasa por C, ya que la velocidad absoluta de C es nula, por serlo la relativa y la de arrastre:

${\vec {v}}_{20}^{C}=\overbrace {{\vec {v}}_{21}^{C}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {v}}_{10}^{C}} ^{={\vec {0}}}={\vec {0}}$

La dirección del EIR la da la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}$, de forma que

${\overrightarrow {CI}}=\lambda {\vec {\omega }}_{20}=\lambda \omega ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})$

La posición del eje respecto al origen del sólido 1 es

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CI}}=(L+\lambda \omega ){\vec {\imath }}+(L+\lambda \omega ){\vec {\jmath }}=\mu {\vec {\imath }}+\mu {\vec {\jmath }}$