No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0\,} (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, de forma que el eje $OX_{0}\,$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro $C\,$ y radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}$, rueda sin deslizar sobre el eje vertical $OZ_{0}\,$, moviéndose su centro $C\,$ con velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=-\,v\,{\vec {k}}_{0}\,$ (donde $v\,$ es una constante positiva). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo $A\,$ el punto de contacto entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$, y siendo $B\,$ el punto del disco diametralmente opuesto al punto $A\,$.

1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$?
2. ¿Cuánto vale la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$?
3. ¿Cuánto vale la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$?

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro $C\,$ del disco (dato del enunciado) y la del punto $A\,$ de contacto entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$ (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {\jmath }}_{0}\,$ (nótese que la dirección propuesta para ${\vec {\omega }}_{20}\,$ es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}\,$):

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=-\,v\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}\right\}\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AC}}\,\Rightarrow \,-\,v\,{\vec {k}}_{0}=\omega _{20}\,{\vec {\jmath }}_{0}\times R\,{\vec {\imath }}_{0}\,\Rightarrow \,-\,v=-\,\omega _{20}R\,\Rightarrow \,{\vec {\omega }}_{20}(t)={\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje $OZ_{0}\,$ de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$ pasa por el punto $A\,$ (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0\,} (dirección de la velocidad angular {20}).

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,} las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} ) y del movimiento {20} (en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} ), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right. }

donde se ha tenido en cuenta que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1\equiv OZ_0\,} ), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right. }

Velocidad instantánea {21} del punto B

Para determinar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}\,} , calculamos primero las velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{01}\,} utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,) }

Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}\,} se calcula así:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20} }

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{20}\,} (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times\left[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0 }

la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{01}\,} (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0 }

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0} }

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0 }