No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano $OX_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, de forma que el eje $OX_{0}\,$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro $C\,$ y radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}$, rueda sin deslizar sobre el eje vertical $OZ_{0}\,$, moviéndose su centro $C\,$ con velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=-\,v\,{\vec {k}}_{0}\,$ (donde $v\,$ es una constante positiva). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo $A\,$ el punto de contacto entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$, y siendo $B\,$ el punto del disco diametralmente opuesto al punto $A\,$.

1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$?
2. ¿Cuánto vale la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$?
3. ¿Cuánto vale la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$?

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro $C\,$ del disco (dato del enunciado) y la del punto $A\,$ de contacto entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$ (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje $OZ_{0}\,$). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {\jmath }}_{0}\,$ (nótese que la dirección propuesta para ${\vec {\omega }}_{20}\,$ es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}\,$):

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=-\,v\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}\right\}\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AC}}\,\Rightarrow \,-\,v\,{\vec {k}}_{0}=\omega _{20}\,{\vec {\jmath }}_{0}\times R\,{\vec {\imath }}_{0}\,\Rightarrow \,-\,v=-\,\omega _{20}R\,\Rightarrow \,{\vec {\omega }}_{20}(t)={\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje $OZ_{0}\,$ de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$ pasa por el punto $A\,$ (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje $OY_{0}\,$ (dirección de la velocidad angular {20}).

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto $A\,$) y del movimiento {20} (en el punto $C\,$), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\omega \,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,A}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=-\,v\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\overrightarrow {AB}}=2R\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\{\overrightarrow {CB}}=R\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $A\,$ pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

$\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega \,{\vec {k}}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega \,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,A}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \left({\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}\right)}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,C}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (-\,v\,{\vec {k}}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.$

Velocidad instantánea {21} del punto B

Para determinar la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$, calculamos primero las velocidades ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ y ${\vec {v}}_{01}^{\,B}\,$ utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,B}=\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{\,C}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CB}}=-\,v\,{\vec {k}}_{0}+\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}\times R\,{\vec {\imath }}_{0}=-\,2v\,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,B}=\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,A}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AB}}=\omega \,{\vec {k}}_{0}\times 2R\,{\vec {\imath }}_{0}=2\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto $B\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}=2\,(\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{0}-\,v\,{\vec {k}}_{0}\,)$

Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$ se calcula así:

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}$

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,B}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

${\vec {a}}_{20}^{\,B}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {CB}}\,+\,{\vec {\omega }}_{20}\times (\omega _{20}\times {\overrightarrow {CB}})=\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}\times \left[\,\displaystyle {\frac {v}{R}}\,{\vec {\jmath }}_{0}\times R\,{\vec {\imath }}_{0}\right]=-\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\,{\vec {\imath }}_{0}$

la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,B}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

${\vec {a}}_{01}^{\,B}=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,A}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {AB}}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\times (\omega _{01}\times {\overrightarrow {AB}})=\omega \,{\vec {k}}_{0}\times (\omega \,{\vec {k}}_{0}\times 2R\,{\vec {\imath }}_{0})=-2\,\omega ^{2}R\,{\vec {\imath }}_{0}$

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

$2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}=2\,\omega \,{\vec {k}}_{0}\times (-\,2v\,{\vec {k}}_{0})={\vec {0}}$

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$:

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\!\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}=-\displaystyle {\frac {1}{R}}(v^{2}+2\,\omega ^{2}R^{2})\,{\vec {\imath }}_{0}$