5.2. Movimiento relativo en un sistema biela-manivela

Enunciado

Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud $L=50\,\mathrm {cm}$. La manivela (sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido $1$) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.

En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que $\mathrm {tg} (\theta )=4/3$ . En el mismo instante las derivadas de este ángulo valen ${\dot {\theta }}=3\,\mathrm {rad} /s$, ${\ddot {\theta }}=12\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ^{2}$. Para este instante:

1. Calcule las velocidades ${\vec {v}}_{21}^{B}$, ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {v}}_{01}^{B}$. Indique su dirección y sentido gráficamente.
2. Halle las aceleraciones ${\vec {a}}_{21}^{B}$, ${\vec {a}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{01}^{B}$.

Introducción

En este problema se trata de hallar las velocidades y aceleraciones absoluta, relativa y de arrastre para un punto concreto en un instante dado. La idea es ilustrar el método de la composición de movimientos relativos para obtener las cantidades absolutas (entendidas como las del sólido 2 referido al sólido 1).

En este caso, no obstante, tanto la velocidad como la aceleración absolutas pueden hallarse directamente, puesto que conocemos la posición de B no en un solo instante, sino en cualquier momento.

Velocidad absoluta

Desde el punto del vista del sólido 1, el punto B realiza un movimiento en una dimensión a lo largo de la barra.

La posición en cada instante corresponde a la base de un triángulo isósceles. Empleando una base ligada al sólido 1, según los ejes indicados en la figura

${\overrightarrow {OB}}=2L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}$

Derivando esta posición respecto al tiempo en el sistema ligado al sólido 1 obtenemos la velocidad absoluta del punto B

${\vec {v}}_{21}^{B}=-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos, para las razones trigonométricas en el instante fijado,

$\mathrm {tg} (\theta )={\frac {4}{3}}\qquad \Rightarrow \qquad \cos(\theta )={\frac {3}{5}}\qquad \qquad \mathrm {sen} (\theta )={\frac {4}{5}}$

y de aquí

${\vec {v}}_{21}^{B}=-2(0.5\,\mathrm {m} )(3\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ){\frac {4}{5}}=-2.4\,{\vec {\imath }}_{1}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Aceleración absoluta

Derivando la velocidad absoluta respecto al tiempo, calculamos la aceleración absoluta ${\vec {a}}_{21}^{B}$

${\vec {a}}_{21}^{B}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1})\right|_{1}=(-2L{\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )-2L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta )){\vec {\imath }}_{1}$

Numéricamente tenemos para la aceleración absoluta

${\vec {a}}_{21}^{B}=(-5.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+(-20.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+(10.8{\vec {\imath }}_{1}-14.4{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=-15{\vec {\imath }}_{1}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Velocidades

Velocidad de arrastre

La velocidad de arrastre, ${\vec {v}}_{01}^{B}$, es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido 0, medida desde el sólido 1. El sólido 0 realiza una rotación pura en torno a un eje perpendicular al plano del sistema y que pasa por el punto de articulación

${\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}$

La velocidad angular de este movimiento la da la variación del ángulo $\theta$ con el tiempo

${\vec {\omega }}={\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}$

siendo la posición del punto B

${\overrightarrow {OB}}=2L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}$

lo que nos da la velocidad de arrastre

${\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}_{1}\\0&0&{\dot {\theta }}\\2L\cos(\theta )&0&0\end{matrix}}\right|=2L{\dot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {v}}_{01}^{B}=2(0.50\,\mathrm {m} )(3\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ){\frac {3}{5}}{\vec {\jmath }}_{1}=1.8{\vec {\jmath }}_{1}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Velocidad relativa

La velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{B}$ es la que tiene el punto B, como parte del sólido 2, respecto al sólido intermedio 0, que en este caso es la manivela.

En este caso, el movimiento es uno de rotación en torno a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por la articulación A

${\vec {v}}_{20}^{B}={\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}$

El vector de posición relativo, empleando de nuevo ejes ligados al sistema 1, es

${\overrightarrow {AB}}=L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}-L\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

La velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}{\vec {k}}_{1}$

El valor de $\omega _{20}$ nos es desconocido por ahora.

La velocidad relativa de B es entonces

${\vec {v}}_{20}^{B}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}_{1}\\0&0&\omega _{20}\\L\cos(\theta )&-L\,\mathrm {sen} (\theta )&0\end{matrix}}\right|=\omega _{20}L\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\omega _{20}L\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

El valor de $\omega _{20}$ lo podemos obtener de que la velocidad angular absoluta debe ser suma de la relativa más la de arrastre.

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}$

La velocidad angular de arrastre ya la conocemos. La absoluta la obtenemos observando que cuando la manivela gira un ángulo $\theta$ en sentido antihorario, la manivela gira el mismo ángulo en sentido horario, por tratarse de un triángulo isósceles. Por tanto

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}\,\,;$    ${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{20}=-2{\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1}$

No obstante, al mismo valor de ${\vec {\omega }}_{20}$ se puede llegar también directamente observando que el ángulo formado por biela y manivela es $\pi -2\theta$ y derivando dicho ángulo respecto al tiempo.

Sustituyendo $\omega _{20}$ en la expresión de la velocidad queda entonces

${\vec {v}}_{20}^{B}=-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}-2{\dot {\theta }}L\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

El valor numérico de esta velocidad relativa es

${\vec {v}}_{20}^{B}=(-2.4{\vec {\imath }}_{1}-1.8{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Velocidad absoluta

Una vez que tenemos la velocidad de arrastre y la relativa, hallamos la velocidad absoluta ${\vec {v}}_{21}^{B}$ sumando las expresiones correspondientes

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{20}^{B}+{\vec {v}}_{01}^{B}=(2L{\dot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1})+(-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}-2{\dot {\theta }}L\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1})=-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1}$

que es la expresión a la que habíamos llegado al principio del problema, derivando la posición respecto al tiempo.

En forma numérica

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{20}^{B}+{\vec {v}}_{01}^{B}=(1.8{\vec {\jmath }}_{1})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}+(-2.4{\vec {\imath }}_{1}-1.8{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=(-2.4{\vec {\imath }}_{1})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Representación gráfica

Las tres velocidades poseen una sencilla interpretación geométrica:

Velocidad absoluta, ${\vec {v}}_{21}^{B}$

Por tratarse de un movimiento unidimensional, la velocidad absoluta de B va en la dirección de la recta de movimiento, que es la de la barra fija.

Velocidad relativa, ${\vec {v}}_{20}^{B}$

Al ser una rotación en torno a un eje que pasa por A, esta velocidad es perpendicular al vector de posición relativo ${\overrightarrow {AB}}$

Velocidad de arrastre, ${\vec {v}}_{01}^{B}$

Se trata de otra rotación, esta vez en torno a un eje que pasa por O. El vector velocidad es perpendicular al vector de posición ${\overrightarrow {OB}}$, esto es, es normal a la barra.

Aceleraciones

Aceleración de arrastre

La aceleración de arrastre, ${\vec {a}}_{01}^{B}$ es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido intermedio “0”.

Empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido:

${\vec {a}}_{01}^{B}={\vec {a}}_{01}^{O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}})$

La aceleración del punto O en el movimiento {01} es nula, por ser éste un punto fijo.

${\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {0}}$

La aceleración angular es igual a

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}({\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1})\right|_{1}={\ddot {\theta }}{\vec {k}}_{1}$

El término debido a esta aceleración vale

${\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}_{1}\\0&0&{\ddot {\theta }}\\2L\cos(\theta )&0&0\end{matrix}}\right|=2L{\ddot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

El último término se simplifica desarrollando el doble producto vectorial

${\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}})=\overbrace {({\vec {\omega }}_{01}\cdot {\overrightarrow {OB}})} ^{=0}{\vec {\omega }}_{01}-\omega _{01}^{2}{\overrightarrow {OB}}=-2L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}$

Sumando los tres términos hallamos la aceleración de arrastre

${\vec {a}}_{01}^{B}=-2L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+2L{\ddot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {a}}_{01}^{B}=(-5.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Aceleración relativa

Para la aceleración relativa ${\vec {a}}_{20}^{B}$ empleamos la misma técnica teniendo en cuenta que se trata de una rotación alrededor de A.

${\vec {a}}_{20}^{B}={\vec {a}}_{20}^{A}+{\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}+{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}})$

La aceleración del punto A es nula en el movimiento relativo

${\vec {a}}_{20}^{A}={\vec {0}}$

La aceleración angular de este movimiento es, teniendo en cuenta que ${\vec {k}}_{1}={\vec {k}}_{0}$

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(-2{\dot {\theta }}{\vec {k}}_{1})\right|_{0}=-2{\ddot {\theta }}{\vec {k}}_{1}$

produciendo el término

${\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}_{1}\\0&0&-2{\ddot {\theta }}\\L\cos(\theta )&-L\,\mathrm {sen} (\theta )&0\end{matrix}}\right|=-2L{\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}-2L{\ddot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Desarrollando el doble producto vectorial de la velocidad angular

${\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}})=\overbrace {({\vec {\omega }}_{20}\cdot {\overrightarrow {AB}})} ^{=0}{\vec {\omega }}_{20}-\omega _{20}^{2}{\overrightarrow {AB}}=-4L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+4L{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración relativa

${\vec {a}}_{20}^{B}=-2L({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )+2{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta )){\vec {\imath }}_{1}-2L({\ddot {\theta }}\cos(\theta )-2{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} (\theta )){\vec {\jmath }}_{1}$

Sustituyendo los valores numéricos

${\vec {a}}_{20}^{B}=(-20.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Aceleración absoluta

Por último, para la aceleración absoluta empleamos el teorema de Coriolis

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}+{\vec {a}}_{01}^{B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}$

Nos queda por hallar el último término. Sustituyendo la velocidad relativa y desarrollando el doble producto vectorial

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}=2{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}})=-2({\vec {\omega }}_{01}\cdot {\vec {\omega }}_{20}){\overrightarrow {AB}}=4L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}-4L{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración absoluta

${\begin{array}{rcccc}{\vec {a}}_{21}^{B}&=&-2L({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )+2{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta )){\vec {\imath }}_{1}&-&2L({\ddot {\theta }}\cos(\theta )-2{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} (\theta )){\vec {\jmath }}_{1}+\\&+&-2L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}&+&2L{\ddot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{1}+\\&+&4L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}&-&4L{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}=\\&=&(-2L{\ddot {\theta }}\mathrm {sen} (\theta )-2L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta )){\vec {\imath }}_{1}&&\end{array}}$

Por supuesto, dado que conocemos la velocidad absoluta de B en todo instante, podemos llegar a esta aceleración simplemente derivando la velocidad absoluta:

${\vec {a}}_{21}^{B}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{1})\right|_{1}=(-2L{\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )-2L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta )){\vec {\imath }}_{1}$

Numéricamente tenemos para la aceleración de Coriolis

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}=2\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}_{1}\\0&0&3\\-2.4&-1.8&0\end{matrix}}\right|{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=(10.8{\vec {\imath }}_{1}-14.4{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y para la aceleración absoluta

${\vec {a}}_{21}^{B}=(-5.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+(-20.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+(10.8{\vec {\imath }}_{1}-14.4{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=-15{\vec {\imath }}_{1}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$