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No Boletín - Detección de identidad falsa (Ex.Jun/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") en movimiento relativo. ¿Cuál de las siguientes identidades es falsa?

1) \vec{v}_{21}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}

2) \vec{a}_{21}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}

3) \vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+
\vec{\omega}_{20}\times\vec{\omega}_{01}

4) \vec{\omega}_{01}\cdot\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})

2 Identidad 1: Correcta

La identidad 1 se obtiene de sustituir la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} (aplicada a los puntos P\, y Q\,):


\vec{v}_{01}^{\, P}=\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}

en la ley de composición de velocidades (aplicada en el punto P\,):


\vec{v}_{21}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}

Por tanto, la identidad 1 es correcta.

3 Identidad 2: Correcta

La identidad 2 se obtiene de sustituir las definiciones de \vec{a}_{20}^{\, P}\, y \vec{a}_{01}^{\, P}\,:


\vec{a}_{20}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}_{01}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1

en la ley de composición de aceleraciones o teorema de Coriolis (aplicada en el punto P\,):


\vec{a}_{21}^{\, P}=\vec{a}_{20}^{\, P}+\vec{a}_{01}^{\, P}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}

Por tanto, la identidad 2 es correcta.

4 Identidad 3: Falsa

Si se sustituyen las definiciones de \vec{\alpha}_{20}\, y \vec{\alpha}_{01}\,:


\vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1

en la ley de composición de aceleraciones angulares:


\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}

se obtiene la identidad:


\vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}

Pero observamos que la identidad 3 difiere de ésta en el último sumando, cuyo producto vectorial aparece permutado (lo cual equivale a un cambio de signo).

Por tanto, la identidad 3 es la falsa.

5 Identidad 4: Correcta

La identidad 4 se obtiene realizando el producto escalar de la ley de composición de aceleraciones angulares por el vector \vec{\omega}_{01}\,, operación que provoca la desaparición del último término debido a la ortogonalidad entre los vectores \vec{\omega}_{01}\, y \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}\,:


\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}\,+\,\vec{\alpha}_{01}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{20}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{01}\cdot\,\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\alpha}_{20}\,+\,\vec{\alpha}_{01})\,+\,\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{20})=\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\alpha}_{20}\,+\,\vec{\alpha}_{01})

Por tanto, la identidad 4 es correcta.

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