No Boletín - Detección de identidad falsa (Ex.Jun/13)

Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") en movimiento relativo. ¿Cuál de las siguientes identidades es falsa?

1) ${\vec {v}}_{21}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,Q}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {QP}}$

2) ${\vec {a}}_{21}^{\,P}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {v}}_{20}^{\,P}}{dt}}\right|_{0}+\left.{\frac {d{\vec {v}}_{01}^{\,P}}{dt}}\right|_{1}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,P}$

3) ${\vec {\alpha }}_{21}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{20}}{dt}}\right|_{0}+\left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{01}}{dt}}\right|_{1}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {\omega }}_{01}$

4) ${\vec {\omega }}_{01}\cdot {\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\omega }}_{01}\cdot ({\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01})$

Identidad 1: Correcta

La identidad 1 se obtiene de sustituir la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} (aplicada a los puntos $P\,$ y $Q\,$):

${\vec {v}}_{01}^{\,P}={\vec {v}}_{01}^{\,Q}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {QP}}$

en la ley de composición de velocidades (aplicada en el punto $P\,$):

${\vec {v}}_{21}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,Q}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {QP}}$

Por tanto, la identidad 1 es correcta.

Identidad 2: Correcta

La identidad 2 se obtiene de sustituir las definiciones de ${\vec {a}}_{20}^{\,P}\,$ y ${\vec {a}}_{01}^{\,P}\,$:

${\vec {a}}_{20}^{\,P}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {v}}_{20}^{\,P}}{dt}}\right|_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{01}^{\,P}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {v}}_{01}^{\,P}}{dt}}\right|_{1}$

en la ley de composición de aceleraciones o teorema de Coriolis (aplicada en el punto $P\,$):

${\vec {a}}_{21}^{\,P}={\vec {a}}_{20}^{\,P}+{\vec {a}}_{01}^{\,P}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,P}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {v}}_{20}^{\,P}}{dt}}\right|_{0}+\left.{\frac {d{\vec {v}}_{01}^{\,P}}{dt}}\right|_{1}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,P}$

Por tanto, la identidad 2 es correcta.

Identidad 3: Falsa

Si se sustituyen las definiciones de ${\vec {\alpha }}_{20}\,$ y ${\vec {\alpha }}_{01}\,$:

${\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{20}}{dt}}\right|_{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{01}}{dt}}\right|_{1}$

en la ley de composición de aceleraciones angulares:

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

se obtiene la identidad:

${\vec {\alpha }}_{21}=\displaystyle \left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{20}}{dt}}\right|_{0}+\left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{01}}{dt}}\right|_{1}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

Pero observamos que la identidad 3 difiere de ésta en el último sumando, cuyo producto vectorial aparece permutado (lo cual equivale a un cambio de signo).

Por tanto, la identidad 3 es la falsa.

Identidad 4: Correcta

La identidad 4 se obtiene realizando el producto escalar de la ley de composición de aceleraciones angulares por el vector ${\vec {\omega }}_{01}\,$, operación que provoca la desaparición del último término debido a la ortogonalidad entre los vectores ${\vec {\omega }}_{01}$ y $\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}\,$:

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}\,\,\,\rightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{01}\cdot \,{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\omega }}_{01}\cdot \,({\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01})+{\vec {\omega }}_{01}\cdot \,({\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20})={\vec {\omega }}_{01}\cdot \,({\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01})$

Por tanto, la identidad 4 es correcta.