Enunciado
Una placa triangular
A
B
C
{\displaystyle \,ABC\,}
(sólido "2"), equilátera de lado
L
{\displaystyle \,L\,}
, rota con velocidad angular constante
Ω
0
{\displaystyle \,\Omega _{0}\,}
(en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado
A
B
{\displaystyle \,AB\,}
de un armazón triangular hueco
A
B
O
{\displaystyle \,ABO\,}
(sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón
A
B
O
{\displaystyle \,ABO\,}
se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano
O
1
X
1
Y
1
{\displaystyle \,O_{1}X_{1}Y_{1}\,}
del triedro fijo
O
1
X
1
Y
1
Z
1
{\displaystyle \,O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,}
(sólido "1"), y rota con velocidad angular constante
ω
0
{\displaystyle \,\omega _{0}\,}
(en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su vértice
O
{\displaystyle \,O\,}
(eje
O
1
Z
1
{\displaystyle \,O_{1}Z_{1}\,}
). Sea
{
ı
→
0
,
ȷ
→
0
,
k
→
0
}
{\displaystyle \,\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,}
la base ortonormal asociada al triedro
O
X
0
Y
0
Z
0
{\displaystyle \,OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,}
(sólido "0") definido en la figura, el cual se mueve solidariamente con el armazón triangular
A
B
O
.
{\displaystyle \,ABO.\,}
Determine las siguientes magnitudes:
Velocidad
v
→
21
D
{\displaystyle \,{\vec {v}}_{21}^{\,D}\,}
(ver
D
{\displaystyle \,D\,}
en la figura)
Aceleración angular
α
→
21
{\displaystyle \,{\vec {\alpha }}_{21}\,}
Aceleración
a
→
21
O
{\displaystyle \,{\vec {a}}_{21}^{\,O}\,}
Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}
Los datos del enunciado nos permiten expresar en la base vectorial
{
ı
→
0
,
ȷ
→
0
,
k
→
0
}
{\displaystyle \{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,}
las reducciones cinemáticas del movimiento
{
01
}
{\displaystyle \{01\}\,}
(en el punto
O
{\displaystyle O\,}
) y del movimiento
{
20
}
{\displaystyle \{20\}\,}
(en el punto
D
{\displaystyle D\!\,}
), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
{
ω
→
01
(
t
)
=
ω
0
k
→
0
v
→
01
O
(
t
)
=
0
→
{
ω
→
20
(
t
)
=
Ω
0
ȷ
→
0
v
→
20
D
(
t
)
=
0
→
|
O
D
→
=
3
2
L
ı
→
0
D
O
→
=
−
O
D
→
=
−
3
2
L
ı
→
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,D}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OD}}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}L\,\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\{\overrightarrow {DO}}=-\,{\overrightarrow {OD}}=-\,\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}L\,\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.}
habiéndose tenido en cuenta que el punto
O
{\displaystyle O\,}
es un punto fijo en el movimiento
{
01
}
{\displaystyle \{01\}\,}
porque pertenece a su eje permanente de rotación (eje
O
1
Z
1
{\displaystyle O_{1}Z_{1}\,}
), y que el punto
D
{\displaystyle D\,}
es un punto fijo en el movimiento
{
20
}
{\displaystyle \{20\}\,}
porque pertenece a su eje permanente de rotación (recta que pasa por los puntos
A
{\displaystyle \,A\,}
y
B
{\displaystyle \,B\,}
).
Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos
{
01
}
{\displaystyle \{01\}\,}
y
{
20
}
{\displaystyle \{20\}\,}
las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
|
α
→
01
=
d
ω
→
01
d
t
|
1
=
d
(
ω
0
k
→
0
)
d
t
|
1
=
d
(
ω
0
k
→
1
)
d
t
|
1
=
0
→
a
→
01
O
=
d
v
→
01
O
d
t
|
1
=
d
0
→
d
t
|
1
=
0
→
|
α
→
20
=
d
ω
→
20
d
t
|
0
=
d
(
Ω
0
ȷ
→
0
)
d
t
|
0
=
0
→
a
→
20
D
=
d
v
→
20
D
d
t
|
0
=
d
0
→
d
t
|
0
=
0
→
{\displaystyle \left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega _{0}\,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,O}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,D}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,D}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.}
Velocidad {21} del punto D
Para determinar la velocidad
v
→
21
D
{\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{\,D}\,}
, calculamos primero la velocidad
v
→
01
D
{\displaystyle {\vec {v}}_{01}^{\,D}\,}
utilizando la ecuación del campo de velocidades
{
01
}
{\displaystyle \,\{01\}\,}
:
v
→
01
D
=
v
→
01
O
⏟
0
→
+
ω
→
01
×
O
D
→
=
ω
0
k
→
0
×
3
2
L
ı
→
0
=
3
2
ω
0
L
ȷ
→
0
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{\,D}=\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OD}}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}\times \displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}L\,\,{\vec {\imath }}_{0}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\omega _{0}L\,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}}
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto
D
{\displaystyle D\,}
:
v
→
21
D
=
v
→
20
D
⏟
0
→
+
v
→
01
D
=
3
2
ω
0
L
ȷ
→
0
{\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{\,D}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,D}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,D}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\omega _{0}L\,{\vec {\jmath }}_{0}}
Aceleración angular {21}
Determinamos la aceleración angular
α
→
21
{\displaystyle {\vec {\alpha }}_{21}\,}
aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:
α
→
21
=
α
→
20
⏟
0
→
+
α
→
01
⏟
0
→
+
ω
→
01
×
ω
→
20
=
ω
0
k
→
0
×
Ω
0
ȷ
→
0
=
−
ω
0
Ω
0
ı
→
0
{\displaystyle {\vec {\alpha }}_{21}=\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}\times \Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}=\,-\,\omega _{0}\,\Omega _{0}\,{\vec {\imath }}_{0}}
Aceleración {21} del punto O
La ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis) nos permite calcular la aceleración
a
→
21
O
{\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{\,O}\,}
:
a
→
21
O
=
a
→
20
O
+
a
→
01
O
+
2
ω
→
01
×
v
→
20
O
{\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {a}}_{20}^{\,O}+{\vec {a}}_{01}^{\,O}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,\,O}}
Determinamos, primero, la aceleración
a
→
20
O
{\displaystyle {\vec {a}}_{20}^{\,O}\,}
(mediante la ecuación del campo de aceleraciones
{
20
}
{\displaystyle \{20\}\,}
):
a
→
20
O
=
a
→
20
D
⏟
0
→
+
α
→
20
⏟
0
→
×
D
O
→
+
ω
→
20
×
(
ω
20
×
D
O
→
)
=
Ω
0
ȷ
→
0
×
[
Ω
0
ȷ
→
0
×
(
−
3
2
L
ı
→
0
)
]
=
{\displaystyle \,\,\,\,\,{\vec {a}}_{20}^{\,O}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,D}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {DO}}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\,\times \,(\omega _{20}\,\times \,{\overrightarrow {DO}})=\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\times \,\left[\,\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\times \,\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}}L\,\,{\vec {\imath }}_{0}\right)\right]=}
=
Ω
0
ȷ
→
0
×
3
2
Ω
0
L
k
→
0
=
3
2
Ω
0
2
L
ı
→
0
{\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}\,\times \,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Omega _{0}L\,{\vec {k}}_{0}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\Omega _{0}^{2}\,L\,{\vec {\imath }}_{0}}
y, a continuación, el término de Coriolis:
2
ω
→
01
×
v
→
20
O
=
2
ω
→
01
×
(
v
→
20
D
⏟
0
→
+
ω
→
20
×
D
O
→
)
=
2
ω
0
k
→
0
×
3
2
Ω
0
L
k
→
0
=
0
→
{\displaystyle 2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}=2\,{\vec {\omega }}_{01}\times (\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,D}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {DO}})=2\,\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}\Omega _{0}L\,{\vec {k}}_{0}={\vec {0}}}
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración
a
→
21
O
{\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{\,O}\,}
:
a
→
21
O
=
a
→
20
O
+
a
→
01
O
⏟
0
→
+
2
ω
→
01
×
v
→
20
O
⏟
0
→
=
3
2
Ω
0
2
L
ı
→
0
{\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {a}}_{20}^{\,O}+\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\underbrace {2\,{\vec {\omega }}_{01}\!\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}} _{\displaystyle {\vec {0}}}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\Omega _{0}^{2}L\,{\vec {\imath }}_{0}}