Barra deslizante en armazón rotatorio

Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes $OX_{0}$ y $OZ_{0}$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}$, de tal modo que el eje $OX_{0}$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud $L$, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje $OX_{0}$, mientras que su extremo $B$ desliza a lo largo del eje $OZ_{0}$. Utilizando los ángulos $\theta$ y $\varphi$ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

1. ${\vec {v}}_{01}^{A}$, ${\vec {v}}_{20}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{A}$.
2. ${\vec {v}}_{01}^{B}$, ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}$.
3. ${\vec {\alpha }}_{21}$, ${\vec {a}}_{21}^{A}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$.

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

Velocidades de A

Movimiento de arrastre {01}

En su movimiento como punto del armazón, el punto A se encuentra rotando alrededor del eje $OZ_{0}$. Su velocidad instantánea es

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}$

La velocidad angular de este movimiento la da la derivada temporal del ángulo que forman los dos ejes $OX_{1}$ y $OX_{0}$

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

mientras que la posición instantánea de A es

${\overrightarrow {OA}}=L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}$

lo que nos da la velocidad de arrastre

${\vec {v}}_{01}^{A}=({\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})\times (L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0})=L{\dot {\varphi }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}$

Movimiento relativo {20}

El punto A de la barra se desliza a lo largo del eje $OX_{0}$. Puesto que conocemos su posición en todo momento, podemos hallar su velocidad simplemente derivando

${\vec {r}}_{20}^{A}=L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {r}}_{20}^{A}\right)\right|_{0}=-L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}$

Movimiento absoluto {21}

Una vez que tenemos las velocidades de arrastre y relativa, la velocidad absoluta la calculamos sumando las dos anteriores

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {v}}_{01}^{A}=-L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}+L{\dot {\varphi }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}$

Velocidades de B

Las velocidades de B son incluso más fáciles de calcular que las de A.

Velocidad de arrastre {01}

El punto B se encuentra en el propio eje (permanente) de rotación, por lo que

${\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {0}}$

Velocidad relativa {20}

De nuevo se trata de un deslizamiento, que podemos hallar derivando la posición

${\vec {r}}_{20}^{B}=L\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {k}}_{0}\,\,\,\,\,$ ⇒ $\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{B}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {r}}_{20}^{B}\right)\right|_{0}=L{\dot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {k}}_{0}$

Velocidad absoluta {21}

Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{20}^{B}+{\vec {v}}_{01}^{B}=L{\dot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {k}}_{0}$

Aceleraciones

Aceleración angular

Para hallar la aceleración angular absoluta emplearemos la fórmula de composición de aceleraciones angulares

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

En el movimiento de arrastre tenemos una rotación en torno a un eje permanente de rotación, con velocidad angular dada por

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

La aceleración angular de este movimiento es la derivada temporal de esta velocidad, calculada en el sistema 1. Este valor coincide con el calculado en el sistema 0 ya que el vector ${\vec {k}}$ es el mismo para los dos sistemas en todo instante ${\vec {k}}_{0}={\vec {k}}_{1}$

${\vec {\alpha }}_{01}={\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

En realidad, el resultado es más general y la derivada de una velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}$ calculada en el sistema 0 coincide siempre con la hallada en el sistema 1:

$\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {\omega }}_{01}\right)\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {\omega }}_{01}\right)\right|_{0}+\overbrace {{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{01}} ^{={\vec {0}}}=\left.{\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {\omega }}_{01}\right)\right|_{0}$

Para el movimiento relativo, el cálculo es similar. La velocidad angular la da la variación del ángulo $\theta$ que forman de manera continua la barra horizontal del armazón “0” y la barra “2”. La dirección y el sentido de ${\vec {\omega }}_{20}$ los da la regla de la mano derecha, observando para donde gira la barra “2” cuando $\theta$ aumenta

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

Derivando aquí respecto al tiempo en el sistema “0” obtenemos la aceleración angular relativa

${\vec {\alpha }}_{20}={\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

La aceleración angular absoluta la obtenemos sustituyendo en la fórmula de composición de aceleraciones

${\vec {\alpha }}_{21}={\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}+({\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})\times ({\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})=-{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}{\vec {\imath }}_{0}+{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

Aceleración de A

El teorema de Coriolis nos da la aceleración angular absoluta

${\vec {a}}_{21}^{A}={\vec {a}}_{20}^{A}+{\vec {a}}_{01}^{A}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{A}$

Veamos cada término por separado:

Aceleración relativa {20}

Puesto que conocemos el movimiento de A sobre la barra, podemos calcular la aceleración de A derivando su velocidad relativa

${\vec {a}}_{20}^{A}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=(-L{\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )-L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta )){\vec {\imath }}_{0}$

Aceleración de arrastre {01}

Al tratarse de una rotación permanente en torno a un eje que pasa por O

${\vec {a}}_{01}^{A}={\vec {a}}_{01}^{O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}})$

donde

${\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {0}}\,\,;$    ${\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=({\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})\times (L\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0})=L{\ddot {\varphi }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}\,\,;$    ${\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}})=-L{\dot {\varphi }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}$

lo que da la aceleración de arrastre

${\vec {a}}_{01}^{A}=-L{\dot {\varphi }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{0}+L{\ddot {\varphi }}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{0}$

Término de Coriolis

Por último tenemos

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{A}=2({\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})\times (-L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0})=-2L{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{0}$

Sumando las tres contribuciones obtenemos la aceleración absoluta

${\vec {a}}_{21}^{A}=-L\left({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )+({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2})\cos(\theta )\right){\vec {\imath }}_{0}+L\left({\ddot {\varphi }}\cos(\theta )-2{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )\right){\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración de B

La aceleración absoluta de B es más sencilla de calcular que la de A. El teorema de Coriolis nos da

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}+{\vec {a}}_{01}^{B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}$

Sin embargo, la aceleración de arrastre de B es nula, por encontrarse este punto sobre un eje permanente de rotación. Además, la velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{B}$ es a lo largo del eje Z y por tanto paralela a la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}$, por lo que también el término de Coriolis se anula y la aceleración absoluta coincide con la relativa.

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}$

A su vez, la aceleración relativa se calcula derivando la velocidad, pues conocemos la posición de B en todo momento

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left(L{\ddot {\theta }}\cos(\theta )-L{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} (\theta )\right){\vec {k}}_{0}$

También podíamos haber dicho directamente que conocemos la posición de B en el sistema 1 y derivar esta expresión respecto al tiempo

${\vec {r}}_{21}^{B}=L\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {k}}_{1}\,\,;$    ${\vec {v}}_{21}^{B}=L{\dot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {k}}_{1}\,\,;$    ${\vec {a}}_{21}^{B}=\left(L{\ddot {\theta }}\cos(\theta )-L{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} (\theta )\right){\vec {k}}_{1}$