No Boletín - Bola en canal rectilíneo (Ex.Sep/15)

Enunciado

Una bola (sólido "2") de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} se desplaza sobre dos carriles rectilíneos paralelos fijos (sólido "1") separados entre sí una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} . El movimiento de la bola es tal que: i) en todo instante rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} . Llamamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,\,} respectivamente a los puntos de contacto entre la bola y cada uno de los carriles, y definimos el triedro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O_1X_1Y_1Z_1\,} de la figura.

1. Determine el eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}.\,}
2. Calcule la aceleración instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}^{\, A}_{21}.\,}

Eje instantáneo de rotación

Se nos dice que la bola (sólido "2") rueda sin deslizar sobre ambos carriles (sólido "1") en todo instante. La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas de los dos puntos de contacto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,B\,} , lo que a su vez conlleva la pertenencia de dichos puntos al eje instantáneo de rotación:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,A,B\in \mathrm {E.I.R.} \{21\}$

Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\!} es la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B.\,}

Aceleración instantánea del punto A

Se nos dice también que el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,C\,} de la bola realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} . Esto implica que dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,C\,} tiene velocidad constante en el tiempo y, por tanto, aceleración nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, C}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} }

Nótese que la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}^{\, C}_{21}(t)\,} (paralela al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O_1X_1} ) viene impuesta por el hecho de que el centro de la bola se moverá paralelamente al eje longitudinal del canal rectilíneo. Sin embargo, el sentido de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}^{\, C}_{21}(t)\,} no queda especificado en el enunciado, y nosotros lo hemos elegido arbitrariamente (sentido positivo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O_1X_1} ) en la confianza de que dicha elección no influirá en el valor de la magnitud que se solicita.

Exigiendo que las velocidades de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,C\,} de la bola satisfagan la ecuación del campo de velocidades, calculamos la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1\,} de la bola (su dirección la conocemos a priori porque necesariamente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\vec{\omega}_{21}\parallel\mathrm{E.I.R.}\{21\}\!\!} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\,\, C}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\,\overrightarrow{CA}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, \vec{0}=v\,\vec{\imath}_1\,+\,\,\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1\,\times\left(\frac{R}{2}\,\vec{\jmath}_1-\frac{\sqrt{3}\,R}{2}\,\vec{k}_1\right)=\left(v-\frac{\sqrt{3}\,R\,\omega_{21}}{2}\right)\vec{\imath}_1\,\,\,\,\longrightarrow}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, \omega_{21}=\frac{2\, v}{\sqrt{3}\,R}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\vec{\omega}_{21}=\frac{2\, v}{\sqrt{3}\,R}\,\,\vec{\jmath}_1 }

Dado que este mismo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}_{21}\,} se deduce de forma idéntica para cada instante de tiempo, se llega a la conclusión de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}_{21}\,} es constante en el tiempo y que, por tanto, la aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\alpha}_{21}\,} de la bola es nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}(t)=\frac{2\, v}{\sqrt{3}\,R}\,\,\vec{\jmath}_1\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} }

Finalmente, calculamos la aceleración del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,A\,} de la bola utilizando la ecuación del campo de aceleraciones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\,\vec{0}}\times\overrightarrow{CA}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CA}\,)=\frac{2\, v}{\sqrt{3}\,R}\,\vec{\jmath}_1\times\left[\frac{2\, v}{\sqrt{3}\,R}\,\vec{\jmath}_1\times\left(\frac{R}{2}\,\vec{\jmath}_1-\frac{\sqrt{3}\,R}{2}\,\vec{k}_1\right)\right]=\frac{2\,v^{\, 2}}{\sqrt{3}\,R}\,\vec{k}_1 }