No Boletín - Cuestión sobre rodar, pivotar y deslizar (Ex.Sep/14)

Enunciado

Una esfera (sólido "2") se mueve sobre el plano $z=0\,$ (sólido "1") de cierto sistema de referencia OXYZ, manteniéndose en todo instante el contacto puntual esfera-plano. La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto de contacto $C\,$ viene dada por:

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {k}}\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \\{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \end{array}}\right.$

¿Cuál de las siguientes descripciones del movimiento de la esfera respecto al plano $z=0\,$ es la correcta?

(a) Rodadura y pivotamiento, sin deslizamiento.

(b) Rodadura y deslizamiento, sin pivotamiento.

(c) Pivotamiento y deslizamiento, sin rodadura.

(d) Rodadura, pivotamiento y deslizamiento.

Solución

Los conceptos de rodar, pivotar y deslizar aparecen en el contexto del movimiento relativo {21} entre dos sólidos que mantienen contacto puntual en todo instante. Se define un vector unitario ${\vec {n}}\,$ ortogonal al plano tangente común a las superficies de ambos sólidos en el punto de contacto $C\,$. Descomponiendo la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ y la velocidad del punto de contacto ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$, respectivamente, como sendas sumas de un vector perpendicular a ${\vec {n}}\,$ y otro vector paralelo a ${\vec {n}}\,$ (con la fórmula deducida en la teoría), se introduce la siguiente terminología:

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}=\underbrace {({\vec {n}}\times {\vec {\omega }}_{21})\times {\vec {n}}} _{\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}^{\,\mathrm {rod} }\perp {\vec {n}}}\,+\,\underbrace {({\vec {n}}\cdot {\vec {\omega }}_{21})\,{\vec {n}}} _{\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}^{\,\mathrm {piv} }\parallel {\vec {n}}}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,C}=\underbrace {({\vec {n}}\times {\vec {v}}_{21}^{\,C})\times {\vec {n}}} _{\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{\,\,\mathrm {des} }\perp {\vec {n}}}\,+\,\underbrace {({\vec {n}}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,C})\,{\vec {n}}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\end{array}}$

donde se denomina rodadura a la componente de rotación tangencial al contacto (perpendicular a ${\vec {n}}\,$), se denomina pivotamiento a la componente de rotación perpendicular al contacto (paralela a ${\vec {n}}\,$), y se denomina deslizamiento a la traslación tangencial al contacto (perpendicular a ${\vec {n}}\,$). Obsérvese que no puede existir traslación perpendicular al contacto (paralela a ${\vec {n}}\,$) por ser incompatible con el mantenimiento del contacto puntual entre ambos sólidos.

Pues bien, aplicando las anteriores fórmulas al ejercicio que nos ocupa, obtenemos:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {k}}\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \,\,;\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,\,;\,\,\,\,\,{\vec {n}}={\vec {k}}\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}=\underbrace {({\vec {k}}\times {\vec {k}}\,)\times {\vec {k}}} _{\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}^{\,\mathrm {rod} }={\vec {0}}}\,\,\,+\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace {({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}\,)\,{\vec {k}}} _{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}^{\,\mathrm {piv} }={\vec {k}}\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} }\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,C}=\underbrace {({\vec {k}}\times {\vec {\imath }}\,)\times {\vec {k}}} _{\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{\,\,\mathrm {des} }={\vec {\imath }}\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} }\,+\,\,\,\underbrace {({\vec {k}}\cdot {\vec {\imath }}\,)\,{\vec {k}}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\end{array}}\right.$

Por tanto, la respuesta correcta es la (c): el movimiento de la esfera respecto al plano es de "pivotamiento y deslizamiento, sin rodadura".