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No Boletín - Cuestión sobre rodar, pivotar y deslizar (Ex.Sep/14)

De Laplace

1 Enunciado

Una esfera (sólido "2") se mueve sobre el plano z=0\, (sólido "1") de cierto sistema de referencia OXYZ, manteniéndose en todo instante el contacto puntual esfera-plano. La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto de contacto C\, viene dada por:


\left\{\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21}=\vec{k}\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \\
\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{\imath}\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\end{array}\right.

¿Cuál de las siguientes descripciones del movimiento de la esfera respecto al plano z=0\, es la correcta?

(a) Rodadura y pivotamiento, sin deslizamiento.

(b) Rodadura y deslizamiento, sin pivotamiento.

(c) Pivotamiento y deslizamiento, sin rodadura.

(d) Rodadura, pivotamiento y deslizamiento.

2 Solución

Los conceptos de rodar, pivotar y deslizar aparecen en el contexto del movimiento relativo {21} entre dos sólidos que mantienen contacto puntual en todo instante. Se define un vector unitario \vec{n}\, ortogonal al plano tangente común a las superficies de ambos sólidos en el punto de contacto C\,. Descomponiendo la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\, y la velocidad del punto de contacto \vec{v}^{\, C}_{21}\,, respectivamente, como sendas sumas de un vector perpendicular a \vec{n}\, y otro vector paralelo a \vec{n}\, (con la fórmula deducida en la teoría), se introduce la siguiente terminología:


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21}=\underbrace{(\vec{n}\times\vec{\omega}_{21})\times\vec{n}}_{\displaystyle\vec{\omega}_{21}^{\,\mathrm{rod}}\perp\vec{n}}\,+\,\underbrace{(\vec{n}\cdot\vec{\omega}_{21})\,\vec{n}}_{\displaystyle\vec{\omega}_{21}^{\,\mathrm{piv}}\parallel\vec{n}} \\ \\
\vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{(\vec{n}\times\vec{v}^{\, C}_{21})\times\vec{n}}_{\displaystyle\vec{v}^{\,\,\mathrm{des}}_{21}\perp\vec{n}}\,+\,\underbrace{(\vec{n}\cdot\vec{v}^{\, C}_{21})\,\vec{n}}_{\displaystyle\vec{0}}
\end{array}

donde se denomina rodadura a la componente de rotación tangencial al contacto (perpendicular a \vec{n}\,), se denomina pivotamiento a la componente de rotación perpendicular al contacto (paralela a \vec{n}\,), y se denomina deslizamiento a la traslación tangencial al contacto (perpendicular a \vec{n}\,). Obsérvese que no puede existir traslación perpendicular al contacto (paralela a \vec{n}\,) por ser incompatible con el mantenimiento del contacto puntual entre ambos sólidos.

Pues bien, aplicando las anteriores fórmulas al ejercicio que nos ocupa, obtenemos:


\vec{\omega}_{21}=\vec{k}\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \,\,;\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{\imath}\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \,\,;\,\,\,\,\, \vec{n}=\vec{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,
\left|\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21}=\underbrace{(\vec{k}\times\vec{k}\,)\times\vec{k}}_{\displaystyle\vec{\omega}_{21}^{\,\mathrm{rod}}=\vec{0}}\,\,\,+\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{(\vec{k}\cdot\vec{k}\,)\,\vec{k}}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\displaystyle\vec{\omega}_{21}^{\,\mathrm{piv}}=\vec{k}\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{(\vec{k}\times\vec{\imath}\,)\times\vec{k}}_{\displaystyle\vec{v}^{\,\,\mathrm{des}}_{21}=\vec{\imath}\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}\,+\,\,\,\underbrace{(\vec{k}\cdot\vec{\imath}\,)\,\vec{k}}_{\displaystyle\vec{0}}
\end{array}\right.

Por tanto, la respuesta correcta es la (c): el movimiento de la esfera respecto al plano es de "pivotamiento y deslizamiento, sin rodadura".

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