No Boletín - Cono sobre plano horizontal (Ex.Ene/18)

Enunciado

Un cono recto (sólido "2"), con un semiángulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/6\,\,\mathrm{rad}\,} en el vértice, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} del triedro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1\,} (sólido "1"), manteniendo su vértice fijo en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} y teniendo en cada instante una generatriz Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OG\,} en contacto con el citado plano horizontal. Se define un triedro auxiliar móvil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0\,} (sólido "0"), cuyo eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0\,} coincide con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1\,} , y cuyo plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0\,} contiene siempre al centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de la base del cono y, por tanto, contiene también al eje de simetría Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_2\,} del cono. Se conoce como dato que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}(t)= \Omega\,\vec{k}_1\,} (siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\,} una constante positiva). Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\,} la base ortonormal asociada al triedro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0\,} .

1. ¿Cuál es el EIR del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}} ?
2. Determine la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} .
3. Determine la aceleración angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}\,} .

Ejes de rotación de los movimientos {21}, {01} y {20}

Aunque sólo se pide el eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} , conviene determinar también los ejes de rotación de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} .

Se nos dice que el cono (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el plano horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} (sólido "1"). La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} de todos los puntos de la generatriz de contacto entre el cono y el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1\,} (generatriz Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OG\,} ), lo que a su vez conlleva la pertenencia de dicha generatriz al eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} . Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} coincide con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{E.I.R.}\{21\}\equiv OX_0\,}

tratándose de un eje instantáneo (y no permanente) de rotación al ser un eje móvil respecto al observador "1".

Dado que el eje $OZ_{0}$ (sólido "0") es coincidente con el eje $OZ_{1}$ (sólido "1"), es obvio que todos sus puntos están en reposo permanente en el movimiento $\{01\}\,$ y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento $\{01\}\,$:

$\mathrm {E.P.R.} \{01\}\equiv OZ_{1}\,$

tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "1".

Por último, se observa que el eje de simetria $OZ_{2}\,$ del cono (sólido "2") ocupa una posición fija en el triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0"), de modo que todos sus puntos se hallan en reposo permanente en el movimiento $\{20\}\,$ y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento $\{20\}\,$:

$\mathrm {E.P.R.} \{20\}\equiv OZ_{2}\,$

tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "0".

Velocidad angular del movimiento {20}

Aunque sólo se pide la velocidad angular del movimiento $\{20\}\,$, sin apenas esfuerzo adicional obtendremos también la velocidad angular del movimiento $\{21\}\,$.

Se conoce como dato la velocidad angular del movimiento $\{01\}\,$:

${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{1}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,$

Por otra parte, sabemos que la velocidad angular de cada movimiento tiene necesariamente la dirección del eje de rotación de dicho movimiento. Por tanto:

${\begin{array}{lll}\mathrm {E.I.R.} \{21\}\equiv OX_{0}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&{\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\\mathrm {E.P.R.} \{20\}\equiv OZ_{2}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&{\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{2}=\omega _{20}\,\left(\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\frac {1}{2}}\,{\vec {k}}_{0}\right)\end{array}}$

Exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y separando componentes en la base "0", se obtiene un sistema de dos ecuaciones para las incógnitas $\omega _{21}\,$ y $\omega _{20}\,$:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}\omega _{21}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\omega _{20}\\\\0=\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\omega _{20}+\Omega \end{array}}\right.$

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen las siguientes soluciones:

${\begin{array}{lll}\omega _{20}=-2\,\Omega &\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\omega }}_{20}=-\Omega \,({\sqrt {3}}\,{\vec {\imath }}_{0}\,+\,{\vec {k}}_{0})\\\\\omega _{21}=-{\sqrt {3}}\,\Omega &\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\omega }}_{21}=-{\sqrt {3}}\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}$

Aceleración angular del movimiento {21}

Calculamos primero, mediante su definición, las aceleraciones angulares de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} :

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

y, a continuación, determinamos la aceleración angular del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} mediante la ley de composición de aceleraciones angulares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\,\times\,[-\Omega\,(\sqrt{3}\,\vec{\imath}_0\,+\,\vec{k}_0)]= -\sqrt{3}\,\Omega^2\,\vec{\jmath}_0 }

También se puede calcular la aceleración angular del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} derivando respecto al tiempo la velocidad angular del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{21}=\Omega\,\vec{k}_0\times[-\sqrt{3}\,\Omega\,\vec{\imath}_0]=-\sqrt{3}\,\Omega^2\,\vec{\jmath}_0 }