Silla giratoria (Ex.Dic/12)

Enunciado

Una placa cuadrada (sólido "0") de lado $L\,$, que se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano $O_{1}X_{1}Y_{1}\,$ del triedro fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), está rotando con velocidad angular constante $\Omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su centro $O\,$ (eje $O_{1}Z_{1}\,$). A su vez, una placa rectangular ABCD (sólido "2"), de dimensiones $L\times (L/2)\,$ y vinculada a la placa cuadrada mediante un par de bisagras en su lado AB, está rotando con velocidad angular constante $2\Omega \,$ (en el sentido indicado en la figura) respecto a la placa cuadrada.

Expresando las magnitudes vectoriales en la base asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ de la figura, el cual se mueve solidariamente con la placa cuadrada "0", determine:

1. Reducción cinemática canónica de los movimientos {01} y {20}.
2. Velocidades ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$, ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ y ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ para el instante particular representado en la figura, el cual corresponde a la placa rectangular ABCD en posición vertical por encima de la placa cuadrada.
3. Aceleraciones ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$, ${\vec {a}}_{20}^{\,C}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ para el mismo instante del apartado anterior.

Reducciones cinemáticas canónicas {01} y {20}

Tanto el movimiento {01} como el movimiento {20} son rotaciones puras alrededor de sendos ejes fijos (ejes permanentes de rotación). En concreto, el EPR{01} es el eje $O_{1}Z_{1}\,$, y el EPR{20} es el eje $AB\,$.

La reducción cinemática de un movimiento en un punto es el conjunto formado por el vector velocidad angular (invariante) y el vector velocidad de dicho punto. Y se denomina canónica a la reducción cinemática realizada en un punto del eje central. Así pues, vamos a elegir el punto $O\in \,$EPR{01} para la reducción cinemática canónica del movimiento {01}, y el punto $B\in \,$EPR{20} para la reducción cinemática canónica del movimiento {20}. Las correspondientes velocidades de estos puntos (${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$ y ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$) son nulas por tratarse de puntos fijos. Y los vectores velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ y ${\vec {\omega }}_{20}\,$ se deducen del enunciado (sus direcciones son las de los correspondientes ejes de rotación, sus módulos son las constantes especificadas, y sus sentidos son los indicados en la figura).

En definitiva, las reducciones cinemáticas canónicas pedidas son las siguientes:

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=-2\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.$

Con vistas a la resolución del último apartado del problema, resulta interesante calcular la aceleración angular y la aceleración de un punto para cada uno de estos dos movimientos elementales:

$\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\Omega \,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,O}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (-2\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,B}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}\end{array}}\right.$

Velocidades del punto C

Calculamos la velocidad relativa (${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$) y la velocidad de arrastre (${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$) utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes, y la velocidad absoluta (${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$) mediante la ley de composición de velocidades:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,C}=\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{20}^{B}} _{\vec {0}}+\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {BC}}=-2\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\times \displaystyle {\frac {L}{2}}\,{\vec {k}}_{0}=\Omega L\,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,C}=\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{\vec {0}}+\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times \left(\!-\displaystyle {\frac {L}{2}}\,{\vec {\imath }}_{0}+\displaystyle {\frac {L}{2}}\,{\vec {\jmath }}_{0}+\displaystyle {\frac {L}{2}}\,{\vec {k}}_{0}\right)=-\displaystyle {\frac {\Omega L}{2}}({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {v}}_{01}^{\,C}=\displaystyle {\frac {\Omega L}{2}}(-{\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})\end{array}}$

Aceleraciones del punto C

Calculamos la aceleración relativa (${\vec {a}}_{20}^{\,C}\,$) y la aceleración de arrastre (${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$) utilizando las ecuaciones de los campos de aceleraciones correspondientes, y la aceleración absoluta (${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$) mediante la ley de composición de aceleraciones o teorema de Coriolis:

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{20}^{\,C}=\displaystyle \underbrace {{\vec {a}}_{20}^{B}} _{\vec {0}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\vec {0}}\times {\overrightarrow {BC}}+\underbrace {{\vec {\omega }}_{20}} _{-2\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}}\!\times \underbrace {(\omega _{20}\times {\overrightarrow {BC}})} _{\Omega L\,{\vec {\jmath }}_{0}}=-2\,\Omega ^{2}\!L\,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,C}=\displaystyle \underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{\vec {0}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\vec {0}}\times {\overrightarrow {OC}}+\underbrace {{\vec {\omega }}_{01}} _{\Omega \,{\vec {k}}_{0}}\times \underbrace {(\omega _{01}\times {\overrightarrow {OC}})} _{-{\frac {\Omega L}{2}}({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})}=\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}\!L}{2}}({\vec {\imath }}_{0}-{\vec {\jmath }}_{0})\\\\{\vec {a}}_{21}^{\,C}={\vec {a}}_{20}^{\,C}+{\vec {a}}_{01}^{\,C}+\underbrace {2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,C}} _{-2\,\Omega ^{2}\!L\,{\vec {\imath }}_{0}}=-\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}\!L}{2}}(3\,{\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}+4\,{\vec {k}}_{0})\end{array}}$