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No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio (Ex.Ene/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano OX_0Z_0\, (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo OZ_1\equiv OZ_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, de forma que el eje OX_0\, permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro C\, y radio R\,, contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,, rueda sobre el eje horizontal OX_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, mientras que su centro C\, avanza con velocidad relativa \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\omega R\,\vec{\imath}_0\,. Se denomina A\, al punto de contacto entre el disco y el eje OX_0\,. Las magnitudes cinemáticas que se piden a continuación se refieren al instante representado en la figura, en el que \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0\,. Se pide:

  1. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  2. Velocidad \vec{v}^{\, A}_{21}\,
  3. Aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\,


2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado nos permiten expresar en la base vectorial \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,, asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto O\,) y del movimiento {20} (en el punto C\,), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:


\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\omega\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\omega R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{OA}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CA}=-R\,\vec{k}_0 \end{array}\right.

habiéndose tenido en cuenta que el punto O\, pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje OZ_1\equiv OZ_0\,), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:


\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega R\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.

3 Aceleración angular {21}

Determinamos la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:


\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{k}_0\times (\omega\,\vec{\jmath}_0)=-\,\omega^2\,\vec{\imath}_0

4 Velocidad instantánea {21} del punto A

Para determinar la velocidad \vec{v}^{\, A}_{21}\,, calculamos primero las velocidades \vec{v}^{\, A}_{20}\, y \vec{v}^{\, A}_{01}\, utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:


\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=\omega R\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{\jmath}_0\times (-R\,\vec{k}_0)=\vec{0} \\ \\
\vec{v}^{\, A}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto A\,:


\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0

5 Aceleración instantánea {21} del punto A

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\, se calcula así:


\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración \vec{a}^{\, A}_{20}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):


\vec{a}^{\, A}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CA})=\omega\,\vec{\jmath}_0\times[\,\omega\,\vec{\jmath}_0\times (-R\,\vec{k}_0)]=\omega^2 R\,\vec{k}_0

la aceleración \vec{a}^{\, A}_{01}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):


\vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OA}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{OA})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):


2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times\vec{0}=\vec{0}

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\,:


\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, A}_{20}=\omega^2 R\,(-2\,\vec{\imath}_0+\vec{k}_0)

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