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No Boletín - Composición de dos rotaciones concurrentes (Ex.Dic/11)

De Laplace

1 Enunciado

Se tienen tres sólidos tales que el movimiento relativo {20} es una rotación en torno al eje {x=y\,, z=0\, } y el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno al eje {x=z\,, y=0\, }. Las velocidades angulares de ambos movimientos tienen el mismo módulo |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\omega_0\, y sus respectivas componentes-\!x\, son ambas positivas.

  1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
  2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

2 Solución

La dirección del vector \vec{\omega}_{20}\, es la dirección del EIR{20} dado. Como también se nos dice el módulo (\omega_0\,) y el sentido (componente-\!x\, positiva) de dicho vector, estamos en condiciones de escribir su valor:


\vec{\omega}_{20}=\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)

Y como también conocemos la dirección (nos dan el EIR{01}), el módulo (\omega_0\,) y el sentido (componente-\!x\, positiva) del vector \vec{\omega}_{01}\,, podemos escribir su valor:


\vec{\omega}_{01}=\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath}+\vec{k}\,)

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:


\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes son concurrentes en el origen de coordenadas O(0,0,0)\,. Por tanto, la velocidad de dicho punto O\, es nula en todos los movimientos:


\left.\begin{array}{lll} O\in\mathrm{EIR\{20\}} & \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, & \vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{0} \\ O\in\mathrm{EIR\{01\}} & \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, & \vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0} \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,O\in\mathrm{EIR\{21\}}

Llegamos, pues, a la conclusión de que el movimiento {21} es una ROTACIÓN PURA, ya que tiene velocidad angular no nula (\vec{\omega}_{21}\neq\vec{0}\,) y al menos un punto con velocidad nula (\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{0}\,).

El EIR{21} pasa por el origen de coordenadas O\, (punto con velocidad {21} nula) y su dirección es la dirección del vector velocidad angular del movimiento {21}. Por tanto, las ecuaciones del EIR{21} son:


\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = z, \,\,y + z = x\}

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