No Boletín - Composición de dos rotaciones concurrentes (Ex.Dic/11)

Enunciado

Se tienen tres sólidos tales que el movimiento relativo {20} es una rotación en torno al eje {$x=y\,$, $z=0\,$ } y el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno al eje {$x=z\,$, $y=0\,$ }. Las velocidades angulares de ambos movimientos tienen el mismo módulo $|{\vec {\omega }}_{20}|=|{\vec {\omega }}_{01}|=\omega _{0}\,$ y sus respectivas componentes $x$ son ambas positivas.

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

Solución

La dirección del vector ${\vec {\omega }}_{20}\,$ es la dirección del EIR{20} dado. Como también se nos dice el módulo ($\omega _{0}\,$) y el sentido (componente $x$ positiva) de dicho vector, estamos en condiciones de escribir su valor:

${\vec {\omega }}_{20}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)$

Y como también conocemos la dirección (nos dan el EIR{01}), el módulo ($\omega _{0}\,$) y el sentido (componente $x$ positiva) del vector ${\vec {\omega }}_{01}\,$, podemos escribir su valor:

${\vec {\omega }}_{01}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,({\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)$

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,(2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)$

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes son concurrentes en el origen de coordenadas $O(0,0,0)\,$. Por tanto, la velocidad de dicho punto $O\,$ es nula en todos los movimientos:

$\left.{\begin{array}{lll}O\in \mathrm {EIR\{20\}} &\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,&{\vec {v}}_{20}^{\,O}={\vec {0}}\\O\in \mathrm {EIR\{01\}} &\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,&{\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+{\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,O\in \mathrm {EIR\{21\}}$

Llegamos, pues, a la conclusión de que el movimiento {21} es una ROTACIÓN PURA, ya que tiene velocidad angular no nula (${\vec {\omega }}_{21}\neq {\vec {0}}\,$) y al menos un punto con velocidad nula (${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}\,$).

El EIR{21} pasa por el origen de coordenadas $O\,$ (punto con velocidad {21} nula) y su dirección es la dirección del vector velocidad angular del movimiento {21}. Por tanto, las ecuaciones del EIR{21} son:

${\frac {x}{2}}={\frac {y}{1}}={\frac {z}{1}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\{y=z,\,\,y+z=x\}$