No Boletín - Composición de dos rotaciones concurrentes (Ex.Dic/11)

Enunciado

Se tienen tres sólidos tales que el movimiento relativo {20} es una rotación en torno al eje {Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=y\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0\,} } y el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno al eje {Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=z\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=0\,} }. Las velocidades angulares de ambos movimientos tienen el mismo módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\omega_0\,} y sus respectivas componentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} son ambas positivas.

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

Solución

La dirección del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\,} es la dirección del EIR{20} dado. Como también se nos dice el módulo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0\,} ) y el sentido (componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} positiva) de dicho vector, estamos en condiciones de escribir su valor:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,) }

Y como también conocemos la dirección (nos dan el EIR{01}), el módulo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0\,} ) y el sentido (componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} positiva) del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} , podemos escribir su valor:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath}+\vec{k}\,) }

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\,(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,) }

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes son concurrentes en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O(0,0,0)\,} . Por tanto, la velocidad de dicho punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} es nula en todos los movimientos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{lll} O\in\mathrm{EIR\{20\}} & \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, & \vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{0} \\ O\in\mathrm{EIR\{01\}} & \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, & \vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0} \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,O\in\mathrm{EIR\{21\}} }

Llegamos, pues, a la conclusión de que el movimiento {21} es una ROTACIÓN PURA, ya que tiene velocidad angular no nula (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\neq\vec{0}\,} ) y al menos un punto con velocidad nula (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{0}\,} ).

El EIR{21} pasa por el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} (punto con velocidad {21} nula) y su dirección es la dirección del vector velocidad angular del movimiento {21}. Por tanto, las ecuaciones del EIR{21} son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = z, \,\,y + z = x\} }