No Boletín - Barra deslizante en armazón rotatorio II (Ex.Feb/17)

Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0\,} (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\,$ con velocidad angular de módulo constante $\Omega \,$ y en el sentido que se indica en la figura, permaneciendo el eje $OX_{0}\,$ siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Mientras tanto, la varilla $AB\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, desliza sus extremos $A\,$ y $B\,$ a lo largo de los ejes $OZ_{0}\,$ y $OX_{0}\,$, respectivamente, de tal modo que su velocidad angular respecto al armazón de barras tiene módulo constante $\Omega \,$ y el sentido correspondiente al crecimiento del ángulo $\theta \,$ que se define en la figura. Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$.

1. ¿Por qué punto del plano $OX_{0}Z_{0}\,$ pasa el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$?
2. ¿Cuánto valen la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$?

Caracterización de los movimientos {01} y {20}

Los datos del enunciado nos permiten expresar en la base vectorial $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ las reducciones cinemáticas del movimiento $\{01\}\,$ (en el punto $O\,$) y del movimiento $\{20\}\,$ (en el punto $B\!\,$):

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=-\,{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}=-\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)=\Omega \,L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$ porque pertenece a su eje permanente de rotación (eje $OZ_{1}\,$), y que el extremo $B\,$ de la varilla "2" es un punto cuyo vector de posición respecto al triedro "0" es fácilmente expresable para todo instante de tiempo, lo cual permite obtener ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ mediante derivación respecto al tiempo de ${\vec {r}}_{20}^{\,B}(t)\,$:

${\vec {r}}_{20}^{\,B}(t)={\overrightarrow {OB}}=L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)=\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{20}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\dot {\theta }}L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=\Omega L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

Nótese también en las expresiones de ${\vec {\omega }}_{20}(t)$ y ${\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)$ que, al decirnos el enunciado que la velocidad angular de la varilla respecto al armazón de barras tiene módulo constante $\Omega \,$ y el sentido correspondiente al crecimiento del ángulo $\theta \,$ definido en la figura, llegamos a la conclusión de que ${\dot {\theta }}=\Omega \,$, igualdad que tendremos presente en lo que resta de solución.

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, B}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =-\,\dot{\theta}\,\Omega\,L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-\,\Omega^{\, 2}L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right. }

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

El eje instantáneo de rotación del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} (en adelante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} ) se obtiene a partir de su ecuación vectorial:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall I\in\mathrm{EIR}\{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \overrightarrow{BI}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, B}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}\,|^2}+\lambda\,\vec{\omega}_{20} }

Y sustituyendo los valores previamente obtenidos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall I\in\mathrm{EIR}\{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{BI}=L\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{k}_0-\lambda\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 }

Obsérvese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} es un punto genérico del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} , pero el primer apartado del ejercicio nos pide un punto muy concreto del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} : el punto de dicho eje que pertenece al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0\,} . Denominando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^{\, *}\,} a dicho punto, es fácil comprobar que precisamente el primer término de la ecuación vectorial del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{EIR}\{20\}\,} nos da la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^{\, *}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BI^{\, *}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, B}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}\,|^2}=L\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{k}_0 }

La posición obtenida nos indica que el punto pedido coincide con el denominado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} en la figura del enunciado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^{\, *}\equiv C }

Centro instantáneo de rotación del movimiento {20}

El procedimiento que acabamos de utilizar para determinar el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^{\, *}\,} parte de la premisa de que aún no se ha estudiado el movimiento plano de sólidos rígidos. Ahora bien, el presente ejercicio formó parte de un examen en el que también entraba el movimiento plano. Por eso, nos parece conveniente señalar que la determinación del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^{\, *}\,} es bastante más directa si nos damos cuenta de que el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\,} es un movimiento plano y de que, eligiendo el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0\,} como plano director del mismo, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^{\, *}\,} es precisamente el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} . Siendo así, los procedimientos de determinación gráfica del C.I.R. estudiados en el tema de movimiento plano nos permiten razonar como a continuación se hace.

Conocemos la dirección de las velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} porque sabemos que los extremos de la varilla están obligados a moverse a lo largo de los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0\,} , respectivamente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{20}\parallel \overline{OZ_0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{20}\parallel \overline{OX_0} }

Trazamos la perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{20}\,} que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} , y la perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} . El C.I.R.{20} (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}=I^{\, *}\,} ) se halla en la intersección de las dos rectas que acabamos de trazar. Coincide, pues, con el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} de la figura del enunciado.

Velocidad y aceleración {21} del punto B obtenidas por composición de movimientos

Para determinar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}\,} , calculamos primero la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{01}\,} utilizando la ecuación del campo de velocidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\{01\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} (observe que la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{20}\,} ya fue calculada al principio):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\,\vec{v}^{\, B}_{01}=\Omega L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+ \mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,] }

Para determinar la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}\,} , calculamos primero la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{01}\,} utilizando la ecuación del campo de aceleraciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\{01\}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OB}\,\,+\,\,\vec{\omega}_{01}\,\times\,(\omega_{01}\,\times\,\overrightarrow{OB})=\Omega\,\vec{k}_0\,\times\,(\Omega\,\vec{k}_0\,\times\, L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0)=-\,\Omega^2 L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0 }

después calculamos el término de Coriolis:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega L\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=2\,\Omega^2 L\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0 }

y, finalmente, aplicamos la ley de composición de aceleraciones en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} (observe que la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{20}\,} ya fue calculada al principio):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\,\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\Omega^{\, 2}L\,[-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,] }

Velocidad y aceleración {21} del punto B obtenidas por derivación temporal

El hecho de que el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} de la varilla "2" sea un punto cuyo vector de posición respecto al triedro "1" es fácilmente expresable para todo instante de tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{\, B}_{21}(t)=\overrightarrow{OB}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0 }

da pie a que también podamos obtener la velocidad y la aceleración de dicho punto en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}\,} mediante sucesivas derivaciones respecto al tiempo (con ayuda de la fórmula general de Poisson y teniendo presente que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\Omega\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \vec{v}^{\, B}_{21}(t)=\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\, B}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\, B}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}^{\, B}_{21}=\Omega L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,] \\ \\ \vec{a}^{\, B}_{21}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, B}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, B}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{21}=2\,\Omega^{\, 2}L\,[-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,] \end{array}\right. }