No Boletín - Barra deslizante en armazón rotatorio II (Ex.Feb/17)

Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes $OX_{0}\,$ y $OZ_{0}\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\,$ con velocidad angular de módulo constante $\Omega \,$ y en el sentido que se indica en la figura, permaneciendo el eje $OX_{0}\,$ siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Mientras tanto, la varilla $AB\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, desliza sus extremos $A\,$ y $B\,$ a lo largo de los ejes $OZ_{0}\,$ y $OX_{0}\,$, respectivamente, de tal modo que su velocidad angular respecto al armazón de barras tiene módulo constante $\Omega \,$ y el sentido correspondiente al crecimiento del ángulo $\theta \,$ que se define en la figura. Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$.

1. ¿Por qué punto del plano $OX_{0}Z_{0}\,$ pasa el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$?
2. ¿Cuánto valen la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$?

Caracterización de los movimientos {01} y {20}

Los datos del enunciado nos permiten expresar en la base vectorial $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ las reducciones cinemáticas del movimiento $\{01\}\,$ (en el punto $O\,$) y del movimiento $\{20\}\,$ (en el punto $B\!\,$):

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=-\,{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}=-\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)=\Omega \,L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$ porque pertenece a su eje permanente de rotación (eje $OZ_{1}\,$), y que el extremo $B\,$ de la varilla "2" es un punto cuyo vector de posición respecto al triedro "0" es fácilmente expresable para todo instante de tiempo, lo cual permite obtener ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ mediante derivación respecto al tiempo de ${\vec {r}}_{20}^{\,B}(t)\,$:

${\vec {r}}_{20}^{\,B}(t)={\overrightarrow {OB}}=L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)=\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{20}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\dot {\theta }}L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=\Omega L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

Nótese también en las expresiones de ${\vec {\omega }}_{20}(t)$ y ${\vec {v}}_{20}^{\,B}(t)$ que, al decirnos el enunciado que la velocidad angular de la varilla respecto al armazón de barras tiene módulo constante $\Omega \,$ y el sentido correspondiente al crecimiento del ángulo $\theta \,$ definido en la figura, llegamos a la conclusión de que ${\dot {\theta }}=\Omega \,$, igualdad que tendremos presente en lo que resta de solución.

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos $\{01\}\,$ y $\{20\}\,$ las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

$\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,O}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,B}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=-\,{\dot {\theta }}\,\Omega \,L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=-\,\Omega ^{\,2}L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.$

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

El eje instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}\,$ (en adelante, $\mathrm {EIR} \{20\}\,$) se obtiene a partir de su ecuación vectorial:

$\forall I\in \mathrm {EIR} \{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {BI}}={\frac {{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{|\,{\vec {\omega }}_{20}\,|^{2}}}+\lambda \,{\vec {\omega }}_{20}$

Y sustituyendo los valores previamente obtenidos de ${\vec {\omega }}_{20}$ y ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$:

$\forall I\in \mathrm {EIR} \{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {BI}}=L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {k}}_{0}-\lambda \,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Obsérvese que $I\,$ es un punto genérico del $\mathrm {EIR} \{20\}\,$, pero el primer apartado del ejercicio nos pide un punto muy concreto del $\mathrm {EIR} \{20\}\,$: el punto de dicho eje que pertenece al plano $OX_{0}Z_{0}\,$. Denominando $I^{\,*}\,$ a dicho punto, es fácil comprobar que precisamente el primer término de la ecuación vectorial del $\mathrm {EIR} \{20\}\,$ nos da la posición de $I^{\,*}\,$:

${\overrightarrow {BI^{\,*}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{|\,{\vec {\omega }}_{20}\,|^{2}}}=L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {k}}_{0}$

La posición obtenida nos indica que el punto pedido coincide con el denominado $C\,$ en la figura del enunciado:

$I^{\,*}\equiv C$

Centro instantáneo de rotación del movimiento {20}

El procedimiento que acabamos de utilizar para determinar el punto $I^{\,*}\,$ parte de la premisa de que aún no se ha estudiado el movimiento plano de sólidos rígidos. Ahora bien, el presente ejercicio formó parte de un examen en el que también entraba el movimiento plano. Por eso, nos parece conveniente señalar que la determinación del punto $I^{\,*}\,$ es bastante más directa si nos damos cuenta de que el movimiento $\{20\}\,$ es un movimiento plano y de que, eligiendo el plano $OX_{0}Z_{0}\,$ como plano director del mismo, el punto $I^{\,*}\,$ es precisamente el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$. Siendo así, los procedimientos de determinación gráfica del C.I.R. estudiados en el tema de movimiento plano nos permiten razonar como a continuación se hace.

Conocemos la dirección de las velocidades ${\vec {v}}_{20}^{\,A}\,$ y ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ porque sabemos que los extremos de la varilla están obligados a moverse a lo largo de los ejes $OZ_{0}\,$ y $OX_{0}\,$, respectivamente:

${\vec {v}}_{20}^{\,A}\parallel {\overline {OZ_{0}}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,B}\parallel {\overline {OX_{0}}}$

Trazamos la perpendicular a ${\vec {v}}_{20}^{\,A}\,$ que pasa por $A\,$, y la perpendicular a ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ que pasa por $B\,$. El C.I.R.{20} (punto $I_{20}=I^{\,*}\,$) se halla en la intersección de las dos rectas que acabamos de trazar. Coincide, pues, con el punto $C\,$ de la figura del enunciado.

Velocidad y aceleración {21} del punto B obtenidas por composición de movimientos

Para determinar la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$, calculamos primero la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,B}\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades $\,\{01\}\,$:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{\,B}=\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=\Omega L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto $B\,$ (observe que la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,B}\,$ ya fue calculada al principio):

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+\,{\vec {v}}_{01}^{\,B}=\Omega L\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,]$

Para determinar la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\,$, calculamos primero la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,B}\,$ utilizando la ecuación del campo de aceleraciones $\,\{01\}\,$:

${\vec {a}}_{01}^{\,B}=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{=\,{\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {OB}}\,\,+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\,\times \,(\omega _{01}\,\times \,{\overrightarrow {OB}})=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,\times \,(\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,\times \,L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0})=-\,\Omega ^{2}L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

después calculamos el término de Coriolis:

$2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}=2\,\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times \Omega L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}=2\,\Omega ^{2}L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}$

y, finalmente, aplicamos la ley de composición de aceleraciones en el punto $B\,$ (observe que la aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,B}\,$ ya fue calculada al principio):

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+\,{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}=2\,\Omega ^{\,2}L\,[-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,]$

Velocidad y aceleración {21} del punto B obtenidas por derivación temporal

El hecho de que el extremo $B\,$ de la varilla "2" sea un punto cuyo vector de posición respecto al triedro "1" es fácilmente expresable para todo instante de tiempo:

${\vec {r}}_{21}^{\,B}(t)={\overrightarrow {OB}}=L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}$

da pie a que también podamos obtener la velocidad y la aceleración de dicho punto en el movimiento $\{21\}\,$ mediante sucesivas derivaciones respecto al tiempo (con ayuda de la fórmula general de Poisson y teniendo presente que ${\dot {\theta }}=\Omega \,$):

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{\,B}(t)=\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {r}}_{21}^{\,B}=\Omega L\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,]\\\\{\vec {a}}_{21}^{\,B}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{21}^{\,B}=2\,\Omega ^{\,2}L\,[-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}\,]\end{array}}\right.$