Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)

Carga total de una distribución

Calcule la carga total de las siguientes distribuciones de carga:

1. N cargas de valor q situadas en los vértices de un polígono regular de N lados situado en el plano XY, con centro el origen y cuyo primer vértice se encuentra en ${\vec {r}}_{1}=a{\vec {\imath }}$.
2. Un anillo circular de radio b con una densidad lineal de carga uniforme $\lambda _{0}$.
3. Un anillo circular de radio b con centro el origen y situado en el plano XY, con una densidad lineal de carga $\lambda (\theta )=\lambda _{0}\cos(\theta )$, siendo θ el ángulo del vector de posición con el eje OX.
4. Una superficie esférica de radio a con una densidad de carga uniforme $\sigma _{0}$, rodeada por una superficie esférica concéntrica de radio b con densidad de carga $-\sigma _{0}$.
5. Una esfera maciza de radio b con densidad de carga uniforme $\rho _{0}$.
6. Una esfera maciza de radio $2b$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(b-r)$ ($r<2b$).

Solución

Fuerza entre cargas en un triángulo

Tres cargas puntuales iguales +q se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de lado b.

1. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de ellas.
2. Suponga que se cambia una de las cargas +q por una carga −q. ¿Cuánto vale en ese caso la fuerza sobre cada una de las tres cargas?
3. Si se cambia una segunda carga +q por otra carga –q, ¿cuánto pasa a ser la fuerza sobre cada una?
4. Por último, si se sustituye la última carga +q por otra –q, ¿cuál es ahora la fuerza?

Solución

Cuatro cargas en dos varillas

Se tiene el sistema de 4 cargas de la figura, a la izquierda hay dos cargas iguales +q, unidas por una varilla rígida (sin carga). A la derecha hay otra varilla rígida, en cuyos extremos hay cargas opuestas ±q. Las cuatro cargas forman un cuadrado de lado b.

Para cada varilla, calcule la fuerza resultante y el momento resultante respecto a su centro de masas (centro de cada varilla).

Solución

Fuerzas y momentos sobre un par de cargas

Dos cargas $q_{1}=+q$ y $q_{2}=-q$ se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico

${\vec {E}}=Ay{\vec {\imath }}+Bx^{2}{\vec {\jmath }}$

• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\imath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\imath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\jmath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\jmath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

Solución

Campo de dos cargas puntuales

Se tienen dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ situadas respectivamente en los puntos ${\vec {r}}_{1}=-12{\vec {\imath }}$  (cm) y ${\vec {r}}_{2}=+12{\vec {\imath }}$  (cm). Halle el campo eléctrico en los puntos ${\vec {r}}_{A}={\vec {0}}$, ${\vec {r}}_{B}=28{\vec {\imath }}$, ${\vec {r}}_{C}=9{\vec {\jmath }}$, ${\vec {r}}_{D}=-9{\vec {k}}$, ${\vec {r}}_{E}=12{\vec {\imath }}+32{\vec {\jmath }}$

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

1. $q_{1}=q_{2}=+1\,\mathrm {nC}$
2. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=-1\,\mathrm {nC}$
3. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=+9\,\mathrm {nC}$
4. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=-9\,\mathrm {nC}$

Solución

Anulación de campo eléctrico

Para los cuatro pares de cargas del problema anterior, localice el punto del eje OX en que se anula el campo eléctrico.

Solución

Cargas en los vértices de un cuadrado

Se tienen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm, según ilustra la figura. Los valores de todas las cargas son +10 nC o −10 nC

1. ¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre una carga de 10 nC situada en el centro del cuadrado?
2. ¿Cuánto vale aproximadamente el trabajo para llevar la carga central hasta el infinito?
3. Suponiendo que no está la carga central, ¿cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
4. ¿Qué trabajo hay que realizar para permutar una carga positiva por una negativa vecina?

Solución

Campo de un anillo homogéneo

Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio b que almacena una carga Q distribuida uniformemente.

Solución

Campo de un disco homogéneo

A partir del resultado del problema “Campo de un anillo homogéneo” calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio b, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente.

Solución

Campo de un plano infinito

Empleando el resultado del problema “Campo de un disco homogéneo”, halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debido a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad de carga $\sigma _{0}$.

Solución

Campo de dos planos paralelos

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia b que almacenan respectivamente densidades de carga $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

Campo de dos discos paralelos

Se tienen dos discos de radio 1cm y con cargas respectivas de ±12 nC situados paralelamente al plano OXY, con sus centros en $(\pm b/2){\vec {k}}$. Halle el valor aproximado del campo eléctrico en el origen de coordenadas si:

1. $b=1\mathrm {m}$.
2. $b=1\,\mathrm {mm}$.
3. $b$ tiene un valor arbitrario. Estime el error cometido en los dos apartados anteriores.

Solución

Campo eléctrico de un anillo no homogéneo

Un anillo de radio R se encuentra cargado con una densidad lineal de carga $\lambda =\lambda _{0}\cos ^{2}(\theta '/2)$. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).

1. ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
2. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
3. ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?

Solución

Campo de un segmento

Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud $2a$ cargado uniformemente con una densidad de carga $\lambda _{0}$, en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio.

Solución

Campo de un hilo infinito

A partir del resultado del problema “Campo de un segmento”, halle el campo eléctrico creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo cargado con una densidad homogénea $\lambda _{0}$.

Este campo puede también hallarse mediante la ley de Gauss. ¿Cómo se llega en ese caso al resultado?

Solución

Campo de dos hilos paralelos

Una línea de alta tensión puede modelarse como dos hilos paralelos, infinitamente largos, cargados con densidades $\pm \lambda _{0}$. Si situamos los ejes de forma que los hilos son paralelos al eje OZ y pasan por los puntos $\pm b{\vec {\imath }}$,

1. Halle la fuerza que cada hilo produce sobre un segmento de longitud ℓ del otro.
2. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

Flujo del campo eléctrico de un cubo

Un cubo de arista b contiene una carga $Q_{0}$ distribuida uniformemente en su volumen. No hay más cargas en el sistema. Sea S una superficie esférica de radio b centrada en uno de los vértices del cubo. ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico a través de S?

Solución

Campo de distribuciones esféricas

Con ayuda de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio para las siguientes distribuciones con simetría esférica:

1. Una superficie esférica de radio a que almacena una carga Q distribuida uniformemente.
2. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) que almacenan respectivamente cargas +Q y -Q, distribuidas uniformemente.
3. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) cargadas respectivamente con densidades superficiales uniformes $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$.
4. Una esfera maciza de radio b que almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
5. Una esfera maciza de radio $2b$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(b-r)$ ($r<2b$).

Solución

Dos superficies esféricas cargadas

Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4b y 2b, respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +Q y la “2” una carga −Q, ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie

1. Calcule el campo eléctrico en los siguientes puntos del plano OXY:
   1. El origen de coordenadas $O(0,0)$
   2. El centro de la esfera “2” $A(3b,0)$
   3. El punto $B_{1}(b^{-},0)$ situado justo fuera de la esfera “2” y el punto $B_{2}(b^{+},0)$ situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
   4. El punto $C_{1}(4b^{-},0)$ situado justo dentro de la esfera “1” y el punto $C_{2}(4b^{+},0)$ situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
   5. El punto $D_{1}(0,4b^{-})$ situado justo dentro de la esfera “1” y el punto $D_{2}(0,4b^{+})$ situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
2. Calcule el potencial eléctrico en los puntos anteriores, tomando como origen de potencial el infinito.
3. Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual q_0 desde el punto $G(6b,0)$ al punto $H(-6b,0)$ siguiendo un camino rectilíneo.
4. En puntos alejados del sistema, éste se ve como un dipolo eléctrico. ¿Cuál es el momento dipolar de la distribución?

Solución

Esfera con hueco esférico

Se tiene una carga $Q=14\,\mathrm {nC}$ distribuida uniformemente en una esfera maciza de radio 10.0 cm en la que se ha horadado una cavidad esférica de radio 5.0 cm cuyo centro está a 5.0 m de la esfera grande.

Calcule el campo eléctrico producido por este sistema en los siguientes puntos:

1. O, el centro de la esfera grande.
2. C, el centro del hueco.
3. A, el borde exterior del hueco.
4. B, el punto diametralmente opuesto a A.
5. P, un punto situado a 25 cm del origen O en la dirección de X positivo.

Solución

Potencial de cargas puntuales

Halle el potencial eléctrico en los puntos indicados en el problema “Campo de dos cargas puntuales”, para los pares de cargas descritos en el mismo problema.

Solución

Trabajo para cargas en un triángulo

Calcule el trabajo necesario para realizar cada una de las sustituciones descritas en el problema “Fuerza entre cargas en un triángulo”.

Solución

Potencial debido a una superficie esférica

Halle el potencial en todos los puntos del espacio creado por una carga Q distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de radio b.

Solución

Diferencia de potencial entre dos planos paralelos

Para el sistema del problema “Campo de dos planos paralelos”, calcule la diferencia de potencial entre el plano cargado positivamente y el cargado negativamente.

Solución

Potencial de distribuciones esféricas

Calcule el potencial eléctrico en el origen de coordenadas para todos los sistemas del problema “Campo de distribuciones esféricas”.

Solución

Potencial debido a un anillo cargado

Halle el potencial eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio 1.00 cm sobre el cual hay distribuida una carga de 10.0 nC, como función de la distancia z al plano del anillo.

¿Qué trabajo es necesario realizar para llevar una carga de 2 nC desde el infinito hasta el centro de este anillo?

Supongamos que en lugar de una carga positiva tenemos una de -2 nC que solo puede moverse a lo largo del eje del anillo y que se suelta en reposo a una distancia $z=1.0\,\mathrm {mm}$ del centro del anillo, ¿qué tipo de movimiento describe esta carga?

Solución

Potencial de esfera con hueco

Para la esfera horadada del problema “Esfera con hueco esférico”, calcule la diferencia de potencial entre los dos puntos diametralmente opuestos de la superficie exterior situados en la recta que pasa por los dos centros.

Solución

Energía de un tetraedro de cargas

En los cuatro vértices de un tetraedro regular de arista b tenemos sendas cargas que pueden valer cada una +q o –q. ¿Qué valores puede tener la energía electrostática de este sistema? Si la probabilidad de que una carga de un vértice sea positiva o negativa es del 50%, ¿cuál es el valor esperado de la energía?

Solución

Energía de un sistema de cuatro cargas

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

1. $q_{1}=q_{2}=q_{3}=q_{4}=+14\,\mathrm {nC}$.
2. $q_{1}=q_{2}=q_{3}=q_{4}=-14\,\mathrm {nC}$.
3. $q_{1}=q_{3}=+14\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=q_{4}=-14\,\mathrm {nC}$.
4. $q_{1}=q_{2}=+14\,\mathrm {nC}$, $q_{3}=q_{4}=-14\,\mathrm {nC}$.
5. $q_{1}=q_{4}=+14\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=q_{3}=-14\,\mathrm {nC}$.

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo ${\vec {r}}_{1}={\vec {0}}$, ${\vec {r}}_{2}=7{\vec {\imath }}$  cm, ${\vec {r}}_{3}=(7{\vec {\imath }}+24{\vec {\jmath }})$ cm, ${\vec {r}}_{2}=24{\vec {\jmath }}$ cm

Solución

Energía de superficies esféricas

Calcule la energía electrostática almacenada en las siguientes distribuciones de carga:

1. Una superficie esférica de radio a sobre la cual hay distribuida uniformemente una carga Q.
2. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas uniformemente cargas +Q y -Q respectivamente.
3. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas cargas con densidades $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$ respectivamente.
4. Tres superficies esféricas concéntricas de radios $2b$, $3b$ y $6b$, que almacenan, respectivamente, cargas $Q_{1}$, $Q_{2}$ y $Q_{3}$. ¿A qué se reduce el resultado si $Q_{1}=Q_{3}=Q_{0}$, $Q_{2}=-Q_{0}$?

Solución

Campo eléctrico radial

En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas ${\vec {E}}=E(r){\vec {u}}_{r}$, dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es $E_{0}$.

1. ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo?
2. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
3. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Solución

Campo eléctrico central

El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión

${\vec {E}}=\left\{{\begin{array}{rcc}E_{0}\left({\dfrac {r}{b}}\right)^{2}{\vec {u}}_{r}&&(r<b)\\&&\\E_{0}\left({\dfrac {b}{r}}\right)^{2}{\vec {u}}_{r}&&(r>b)\end{array}}\right.$

1. ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
2. ¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)?
3. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
4. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Solución

Campo y potencial de dos planos ortogonales

Un sistema de cargas está formado por dos planos cargados, ambos con la misma densidad de carga $+\sigma _{0}$, situados ortogonalmente. Uno de ellos coincide con el plano OXZ y el otro con el OYZ.

1. Halle el campo eléctrico en los puntos $A(4b,3b,0)$, $B(-4b,3b,0)$, $C(-3b,-4b,0)$ y $D(2b,-5b,0)$. Puede usarse, si se conoce, la expresión del campo creado por un solo plano.
2. Indique gráficamente cómo son las líneas de campo en cada uno de los cuatro cuadrantes.
3. Indique gráficamente cómo son las superficies equipotenciales en este sistema
4. Calcule el trabajo necesario para mover una carga q_0 desde A hasta B; para mover la misma carga desde A a C, y para moverla desde A a D.
5. Suponga que se sitúa una carga $-q_{0}$ en el punto A y otra $+q_{0}$ en la posición simétrica B ¿Cuánto vale la fuerza eléctrica sobre cada una de estas dos cargas?

Solución

Campo de tres cargas alineadas

Se tienen dos cargas puntuales, de valores $q_{1}=1\,\mathrm {nC}$ y $q_{2}=4\,\mathrm {nC}$ situadas respectivamente en los puntos A(0,0,0) y B(1,0,0) (m). ¿En qué punto hay que situar y qué valor debe tener una nueva carga si se desea que la fuerza sobre cada una de las tres cargas sea nula?

Solución