Trabajo para cargas en un triángulo (GIOI)

Enunciado

Calcule el trabajo necesario para realizar cada una de las sustituciones descritas en el problema “Fuerza entre cargas en un triángulo”.

Solución

Podemos calcular el trabajo a partir de la diferencia en la energía almacenada en el sistema.

En cada uno de los estados, la energía de un sistema de tres cargas es

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q_{1}q_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}}+{\frac {q_{1}q_{3}}{|{\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{1}|}}+{\frac {q_{2}q_{3}}{|{\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{2}|}}\right)$

que, en este caso, por tratarse de un triángulo equilátero, se reduce a

$U_{\mathrm {e} }={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\left(s_{1}s_{2}+s_{1}s_{3}+s_{2}s_{3}\right)$

donde $s_{i}=+1$ o $-1$ según el signo de la carga.

Así tenemos los siguentes procesos

Del estado A al B

En el estado inicial todas las cargas son positivas, por lo que la energía es

$U_{\mathrm {e} A}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}(1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1)={\frac {3q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

En el estado B tenemos dos cargas positivas y una negativa, por lo que

$U_{\mathrm {e} B}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}(1\cdot 1+1\cdot (-1)+1\cdot (-1))=-{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

lo que nos da el trabajo

$W_{A\to B}=U_{\mathrm {e} B}-U_{\mathrm {e} A}=-{\frac {4q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

Del estado B al C

En el estado C tenemos dos una carga positiva y dos negativas, por lo que la nueva energía vale

$U_{\mathrm {e} B}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}(1\cdot (-1)+1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1))=-{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

y, por tanto,

$W_{B\to C}=0$

Del estado C al D

Por último, en el estado D todas las cargas son negativas y

$U_{\mathrm {e} B}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}((-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1))={\frac {3q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

y

$W_{C\to D}=U_{\mathrm {e} D}-U_{\mathrm {e} C}=+{\frac {4q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$