Campo de un disco homogéneo (GIOI)

Enunciado

A partir del resultado del problema “Campo de un anillo homogéneo” calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio b, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente.

Solución

Una vez que tenemos el campo de un anillo

${\vec {E}}(z{\vec {k}})={\frac {Qz}{4\pi \varepsilon _{0}(b^{2}+z^{2})^{3/2}}}{\vec {k}}$

podemos hallar el de un disco considerándolo como compuesto de anillos concéntricos. Cada uno de estos anillos tiene una carga

$\mathrm {d} q=\sigma _{s}\,\mathrm {d} S=\sigma _{s}(2\pi r')\,\mathrm {d} r'={\frac {2Q}{b^{2}}}r'\,\mathrm {d} r'$

siendo $r'$ el radio de cada anillo, $\mathrm {d} r'$ su espesor y $\sigma _{s}$ la densidad de carga del disco

$\sigma _{s}={\frac {Q}{\pi b^{2}}}$

El campo que produce cada uno de estos anillos es, según el apartado anterior

$\mathrm {d} {\vec {E}}={\frac {\mathrm {d} q\,z}{4\pi \varepsilon _{0}(r'^{2}+z^{2})^{3/2}}}{\vec {k}}={\frac {2\pi \sigma _{s})zr'\mathrm {d} r'\,{\vec {k}}}{4\pi \varepsilon _{0}(r'^{2}+z^{2})^{3/2}}}$

El campo total será la suma del de todos los anillos, cuyo radio varía desde 0 hasta $b$, el radio del disco

${\vec {E}}=\int _{0}^{b}{\frac {\sigma _{s}zr'\mathrm {d} r'\,{\vec {k}}}{2\varepsilon _{0}(r'^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\sigma _{s}z{\vec {k}}}{2\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{b}{\frac {r'\mathrm {d} r'}{(r'^{2}+z^{2})^{3/2}}}$

Esta integral se resuelve con el cambio de variable $u=r'^{2}+z^{2}$ y el resultado es

${\vec {E}}(z)={\frac {\sigma _{s}z{\vec {k}}}{2\varepsilon _{0}}}\left.{\frac {-1}{\sqrt {r'^{2}+z^{2}}}}\right|_{0}^{b}={\frac {\sigma _{s}{\vec {k}}}{2\varepsilon _{0}}}\left({\frac {z}{|z|}}-{\frac {z}{\sqrt {b^{2}+z^{2}}}}\right)$

A la hora de sustituir los límites de integración hay que tener cuidado con los signos, ya que la raíz cuadrada es siempre positiva (máxime, tratándose de una distancia), por lo que

${\sqrt {z^{2}}}=|z|\neq z$

Este campo es, como en el caso del anillo, en la dirección del eje, con sentido hacia afuera (positivo para $z>0$ y negativo para $z<0$), pero no se anula en el centro. En el caso del anillo tenemos que se produce una discontinuidad de salto. Tenemos que

${\frac {z}{|z|}}={\begin{cases}+1&z>0\\-1&z<0\end{cases}}$

por lo que si nos acercamos a z=0 por encima del disco obtenemos el campo

${\vec {E}}(0^{+})={\frac {\sigma _{s}}{2\varepsilon _{0}}}\left(+1-0\right){\vec {k}}={\frac {\sigma _{s}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}$

y por debajo de él

${\vec {E}}(0^{-})={\frac {\sigma _{s}}{2\varepsilon _{0}}}\left(-1-0\right){\vec {k}}=-{\frac {\sigma _{s}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}$

Tiene la misma magnitud en los dos límites, pero sentido opuesto. El salto en el campo vale

${\vec {E}}(0^{+})-{\vec {E}}(0^{-})={\frac {\sigma _{s}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}$