Enunciado
Se tienen dos discos de radio 1cm y con cargas respectivas de ±12 nC situados paralelamente al plano OXY, con sus centros en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\pm b/2) \vec{k}}
. Halle el valor aproximado del campo eléctrico en el origen de coordenadas si:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=1\mathrm{m}}
.- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=1\,\mathrm{mm}}
.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
tiene un valor arbitrario. Estime el error cometido en los dos apartados anteriores.
Distancia 1 m
En el primer caso tenemos que los dos discos están muy alejados de la posición donde queremos hallar el campo, por lo que podemos hacer la aproximación de que se ven como cargas puntuales.
En ese caso, el campo que crea cada una de ellas en la posición central es el mismo, por lo que el campo total será el doble del que crea cada disco (el disco positivo crea un campo que va hacia la negativa, y el disco negativo lo mismo)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2=2\vec{E}_1}
siendo el campo aproximado de cada disco, en N/C
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_1=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{(b/2)^2}\vec{k}=-9\times 10^9\,\frac{12\times 10^-9}{0.5^2}\vec{k}=-432\vec{k}}
y el campo total
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=2\vec{E}_1=-864\vec{k}}
Distancia 1 mm
En el segundo caso, al estar los planos muy próximos, se ven muy grandes, con lo que podemos hacer la aproximación de campo como el de dos planos paralelos infinitos. En ese caso, el campo aproximado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=-\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{k}=-\frac{Q/(\pi R^2)}{\varepsilon_0 }\vec{k}=-\frac{4Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\vec{k}}
con el valor numérico, en N/C
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}-=9\times 10^9 \frac{4\times 12\times 10^-9}{0.01^2}\vec{k}=-4.42\times 10^6\vec{k}}
Resultado exacto
El valor exacto lo obtenemos aplicando el resultado del campo creado por un disco
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=2\vec{E}_1 = -\frac{2Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1-\frac{b/2}{\sqrt{(b/2)^2+R^2}}\right)\vec{k}=-\frac{4Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1-\frac{b}{\sqrt{b^2+4R^2}}\right)\vec{k}}
Con esta fórmula, el valor exacto para b = 1 m es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(b=1\,\mathrm{m})=-4.32\times 10^6 \left(1-\frac{50}{\sqrt{2501}}\right)\vec{k}=-863.741\vec{k}}
y para b = 1 mm
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(b=1\,\mathrm{m})=-4.32\times 10^6 \left(1-\frac{1}{\sqrt{401}}\right)\vec{k}=-4.104\times 10^6\vec{k}}
Estimación del error
Podemos comparar el valor exacto con los valores aproximados, para determinar el error cometido en la aproximación.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon=\frac{\left|\vec{E}_\mathrm{exacto}\right|-\left|\vec{E}_\mathrm{aproximado}\right|}{\left|\vec{E}_\mathrm{exacto}\right|}=-0.000299=-0.03\%}
- es decir, el error está en la quinta cifra significativa, con lo cual sería inapreciable en la práctica.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon=\frac{\left|\vec{E}_\mathrm{exacto}\right|-\left|\vec{E}_\mathrm{aproximado}\right|}{\left|\vec{E}_\mathrm{exacto}\right|}=-0.0525=-5.25\%}
- es decir, el error está en la tercera cifra significativa. Un error de un 5% ya sería más fácilmente medible.
