Campo eléctrico de un anillo no homogéneo

Enunciado

Un anillo de radio b se encuentra cargado con una densidad lineal de carga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda =\lambda_0\cos^2(\theta'/2)} . El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).

1. ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
2. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
3. ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?

Carga total

En primer lugar, debemos recordar la identidad trigonométrica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right) = \frac{1+ \cos(\theta')}{2}}

Tenemos, para la carga

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\int_L \mathrm{d}q = \int_{0}^{2\pi}\lambda(\theta')\mathrm{d}\ell=\int_{0}^{2\pi}\frac{\lambda_0}{2}(1+\cos(\theta')b\mathrm{d}\theta'}

Esta integral es suma de dos integrales simples

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\frac{\lambda_0b}{2}\left(\overbrace{\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta'}^{=2\pi}+\overbrace{\int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'}^{=0}\right)= \pi\lambda_0 b}

Campo en el centro del anillo

Para una densidad lineal de carga debemos aplicar la fórmula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}}

donde, en este caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{0}\qquad \qquad \vec{r}'=b\cos(\theta')\vec{\imath}+b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}}

y, por tanto,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}-\vec{r}^{\,\prime} = -\vec{r}^{\,\prime}= -b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\qquad\qquad |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=|\vec{r}^{\,\prime}| = b}

lo que nos deja con la integral

${\vec {E}}({\vec {0}})=-{\frac {\lambda _{0}}{8\pi \varepsilon _{0}b}}\int _{0}^{2\pi }\left(1+\cos(\theta ')\right)\left(\cos(\theta '){\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} (\theta '){\vec {\jmath }}\right)\mathrm {d} \theta '$

El resultado se compone de dos integrales

$\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(\theta '))\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '=\int _{0}^{2\pi }\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '+\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\theta ')\mathrm {d} \theta '=\pi$

 

$\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(\theta '))\mathrm {sen} (\theta ')\mathrm {d} \theta '=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {sen} (\theta ')\mathrm {d} \theta '+\int _{0}^{2\pi }\mathrm {sen} (\theta ')\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '=0$

por lo que el valor del campo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0}{8\varepsilon_0 b}\vec{\imath}}

Potencial eléctrico en el centro del anillo

El cálculo del potencial se realiza de manera similar, pero es más simple. En general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|}}

En el caso particular del centro del anillo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{0}} y esta integral se reduce angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{b}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}}

Es decir, solo necesitamos el valor de la carga total, que ya calculamos en el primer apartado.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V(\vec{0})= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}=\frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0}}