Energía de un tetraedro de cargas

Enunciado

En los cuatro vértices de un tetraedro regular de arista b tenemos sendas cargas que pueden valer cada una +q o –q. ¿Qué valores puede tener la energía electrostática de este sistema? Si la probabilidad de que una carga de un vértice sea positiva o negativa es del 50%, ¿cuál es el valor esperado de la energía?

Solución

Los cálculos en este problema son muy parecidos a los que se hacen en el problema “Trabajo para cargas en un triángulo”.

La energía de un conjunto de cargas puntuales se puede calcular como

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\mathrm {pares} }{\frac {q_{i}q_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|}}$

En este caso, que todas las cargas son iguales en magnitud y la distancia es la misma en todos los pares, esto se puede escribir como

$U_{\mathrm {e} }={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\left(s_{1}s_{2}+s_{1}s_{3}+s_{1}s_{4}+s_{2}s_{3}+s_{2}s_{4}+s_{3}s_{4}\right)$

donde los $s_{i}$ valen +1 o −1 según el signo de las cargas.

Así tenemos los siguientes posibilidades:

Todas las cargas positivas

Hay un solo caso de este tipo y su energía es

$U_{\mathrm {e} }={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}(1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1)=6\left({\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\right)$

Tres cargas positivas y una negativa

Tenemos 4 casos de este tipo, según cuál sea la carga negativa. Todos los casos tienen la misma energía.

Supongamos que la negativa es la 1. En ese caso

$U_{\mathrm {e} }={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}((-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1)=0$

La energía es nula, aunque haya más cargas positivas que negativas, porque contando pares vemos que hay tres pares $(q,q)$ y tres $(q,-q)$

Dos cargas positivas y dos negativas

Hay 6 casos de este tipo (las formas de elegir 2 cargas de un total de 4).

Supongamos que las cargas negativas son la 1 y la 2. La energía correspondiente valen

$U_{\mathrm {e} }={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}((-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1)=-2\left({\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\right)$

Tras cargas negativas y una positiva

De nuevo tenemos 4 casos. Esta configuración equivale a la de 3 positivas y una negativa, cambiando el signo a todas las cargas. Como en la energía aparecen los productos de las cargas, si cambian todas de signo el resultado no se ve afectado. Por tanto, en este caso, también

$U_{\mathrm {e} }=0$

Cuatro cargas negativas

La energía es la misma que con 4 cargas positivas.

$U_{\mathrm {e} }=6\left({\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\right)$

Valor esperado

Podemos calcular el valor promedio a partir de las energías individuales.

Tenemos en total 16 casos (1+4+6+4+1)

y el valor esperado de la energía es

$\langle U_{\mathrm {e} }\rangle ={\frac {1}{16}}(1\cdot 6+4\cdot 0+6\cdot (-2)+4\cdot 0+1\cdot 6)\left({\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\right)=0$

El valor esperado de la energía es nulo.

Esto puede razonarse de forma simple considerando cada par de cargas individualmente. La energía del sistema es la suma de las de los pares. Y para cada par tenemos solo dos posibilidades: o que las cargas sean del mismo signo (++ y −−) o de signo contrario (+− y −+). La energía en el primer caso es positiva y en el segundo igual pero negativa. Por ello, para cada par el valor esperado es 0. Y a cualquier conjunto de pares le va a pasar lo mismo, aunque tengamos millones de cargas.