Fuerzas y momentos sobre un par de cargas

Enunciado

Dos cargas $q_{1}=+q$ y $q_{2}=-q$ se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico

${\vec {E}}=Ay{\vec {\imath }}+Bx^{2}{\vec {\jmath }}$

• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\imath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\imath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\jmath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\jmath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

Primer caso

Cada carga experimenta una fuerza dada por

${\vec {F}}_{i}=q_{i}{\vec {E}}({\vec {r}}_{i})$

pero, dado que ambas cargas están unidas por una varilla, forman parte de un sólido rígido, sometido a un sistema de fuerzas. En ese caso tendremos una fuerza resultante y un momento resultante en cada caso.

En la primera configuración una de las cargas se encuentra en el punto ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\imath }}$, es decir, sus coordenadas son

$x_{1}=b\qquad \qquad y_{1}=0$

y, por tanto, la fuerza que actúa sobre ella es

${\vec {F}}_{1}=q_{1}{\vec {E}}({\vec {r}}_{1})=q(A\cdot 0{\vec {\imath }}+Bb^{2}{\vec {\jmath }})=qBb^{2}{\vec {\jmath }}$

De la misma manera, la fuerza sobre la segunda carga es

${\vec {F}}_{2}=q_{2}{\vec {E}}({\vec {r}}_{2})=(-q)(A\cdot 0{\vec {\imath }}+B(-b)^{2}{\vec {\jmath }})=-qBb^{2}{\vec {\jmath }}$

Podemos visualizar esto haciendo un mapa de la distribución del campo en cada punto del plano OXY y la fuerza sobre cada carga en este caso.

La resultante de este sistema de fuerzas es

${\vec {F}}=qBb^{2}{\vec {\jmath }}-qBb^{2}{\vec {\jmath }}={\vec {0}}$

El momento resultante respecto al origen de coordenadas, que también es el CM del sistema, vale

${\vec {M}}_{O}={\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}=(b{\vec {\imath }})\times (qBb^{2}{\vec {\jmath }})+(-b{\vec {\imath }})\times (-qBb^{2}{\vec {\jmath }})=2qBb^{3}{\vec {k}}$

La varilla, por tanto, no experimenta fuerza neta pero sí un par que la hace girar.

Segundo caso

En el segundo caso solo cambian las posiciones de las dos cargas. la carga $q_{1}$ se halla ahora en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\jmath }}$, es decir, sus coordenadas son

$x_{1}=0\qquad \qquad y_{1}=b$

La fuerza sobre la carga 1 es ahora

${\vec {F}}_{1}=q_{1}{\vec {E}}({\vec {r}}_{1})=q(Ab{\vec {\imath }}+B\cdot 0{\vec {\jmath }})=qAb{\vec {\imath }}$

y sobre la carga 2

${\vec {F}}_{2}=q_{2}{\vec {E}}({\vec {r}}_{2})=(-q)(-Ab{\vec {\imath }}+B\cdot 0{\vec {\jmath }})=qAb{\vec {\imath }}$

En este caso resultan dos fuerzas iguales en el mismo sentido

La fuerza resultante es ahora

${\vec {F}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=qAb{\vec {\imath }}+qAb{\vec {\imath }}=2qAb{\vec {\imath }}$

mientrs que el momento resultante se anula

${\vec {M}}_{O}={\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}=(b{\vec {\jmath }})\times (qAb{\vec {\imath }})+(-b{\vec {\imath }})\times (qAb{\vec {\imath }})={\vec {0}}$

En este caso la varilla tiende a desplazarse pero no a girar.