Campo de dos hilos paralelos (GIOI)

Enunciado

Una línea de alta tensión puede modelarse como dos hilos paralelos, infinitamente largos, cargados con densidades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pm\lambda_0} . Si situamos los ejes de forma que los hilos son paralelos al eje OZ y pasan por los puntos $\pm b{\vec {\imath }}$,

1. Halle la fuerza que cada hilo produce sobre un segmento de longitud ℓ del otro.
2. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Fuerza entre los hilos

Tal como se ve en el problema “Campo de un hilo infinito” el campo debido a un hilo infinitamente largo con una densidad de carga uniforme es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{u}_\rho}{\rho}=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho\vec{u}_\rho}{\rho^2} = \frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}}{x^2+y^2}\right)}

Si tenemos dos hilos paralelos separados una distancia 2b, la fuerza que el primero ejerce sobre un segmento de longitud ℓ del segundo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{1\to 2}=\int_0^\ell \lambda_2 \vec{E}_1(\vec{r}_2)\,\mathrm{d}\ell}

En este caso tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_2=-\lambda_0} y que, en los puntos de este hilo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_1=\frac{\lambda_0}{2\varepsilon_0(2b)}(-\vec{\imath})}

Este campo tiene el mismo valor en todos los puntos del segundo hilo, por lo que la fuerza es simplemente el producto del campo por la carga

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{1\to 2}=\frac{\lambda_0^2\ell}{4\pi\varepsilon_0 b}\vec{\imath}}

Campo en todos los puntos del espacio

En cartesianas, el campo de un hilo situado sobre el eje OZ es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}}{x^2+y^2}\right)}

Si en vez de estar sobre el eje OZ está sobre una recta paralela, simplemente hallamos la posición relativa a esta nueva línea. Esto equivale a cambiar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x-x_0} y también Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y-y_0} .

En nuestro caso el primer hilo está en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=b} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_0=0} y queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_1=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(x-b)\vec{\imath}+y\vec{\jmath}}{(x-b)^2+y^2}\right)}

Para el segundo hilo, su densidad de carga es la opuesta y se halla sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=-b} , lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_2=-\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(x+b)\vec{\imath}+y\vec{\jmath}}{(x+b)^2+y^2}\right)}

y el campo total es la suma de ambos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{x-b}{(x-b)^2+y^2}-\frac{x+b}{(x+b)^2+y^2}\right)\vec{\imath}+\left(\frac{y}{(x-b)^2+y^2}-\frac{y}{(x+b)^2+y^2}\right)\vec{\jmath}\right)}

Puede demostrarse que, en este sistema, las líneas de campo son arcos de circunferencia que van de un hilo al otro.