Campo de dos hilos paralelos (GIOI)

Enunciado

Una línea de alta tensión puede modelarse como dos hilos paralelos, infinitamente largos, cargados con densidades $\pm \lambda _{0}$ . Si situamos los ejes de forma que los hilos son paralelos al eje OZ y pasan por los puntos $\pm b{\vec {\imath }}$ ,

Halle la fuerza que cada hilo produce sobre un segmento de longitud ℓ del otro.
Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Fuerza entre los hilos

Tal como se ve en el problema “Campo de un hilo infinito” el campo debido a un hilo infinitamente largo con una densidad de carga uniforme es

{\vec {E}}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\vec {u}}_{\rho }}{\rho }}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\rho {\vec {u}}_{\rho }}{\rho ^{2}}}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}}{x^{2}+y^{2}}}\right)

Si tenemos dos hilos paralelos separados una distancia 2b, la fuerza que el primero ejerce sobre un segmento de longitud ℓ del segundo es

{\vec {F}}_{1\to 2}=\int _{0}^{\ell }\lambda _{2}{\vec {E}}_{1}({\vec {r}}_{2})\,\mathrm {d} \ell

En este caso tenemos que $\lambda _{2}=-\lambda _{0}$ y que, en los puntos de este hilo

{\vec {E}}_{1}={\frac {\lambda _{0}}{2\varepsilon _{0}(2b)}}(-{\vec {\imath }})

Este campo tiene el mismo valor en todos los puntos del segundo hilo, por lo que la fuerza es simplemente el producto del campo por la carga

{\vec {F}}_{1\to 2}={\frac {\lambda _{0}^{2}\ell }{4\pi \varepsilon _{0}b}}{\vec {\imath }}

Campo en todos los puntos del espacio

En cartesianas, el campo de un hilo situado sobre el eje OZ es

{\vec {E}}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}}{x^{2}+y^{2}}}\right)

Si en vez de estar sobre el eje OZ está sobre una recta paralela, simplemente hallamos la posición relativa a esta nueva línea. Esto equivale a cambiar $x$ por $x-x_{0}$ y también $y$ por $y-y_{0}$ .