Campo eléctrico radial (GIOI)

Enunciado

En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas ${\vec {E}}=E(r){\vec {u}}_{r}$, dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es $E_{0}$.

1. ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo?
2. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
3. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Densidades de carga

Dado que el campo depende exclusivamente de la distancia al origen, las densidades de carga también van a ser solo función de esta distancia.

Para r > b

Si vamos de fuera a dentro vemos que para $r>b$ el campo es nulo. la aplicación de la ley de Gauss a una superficie esférica de radio $r>b$ nos da que la carga encerrada es nula, para todo $r>b$. Esto implica que en toda esta región la densidad de carga es nula

$\rho (r)=0\qquad \qquad (r>b)$

En r = b

En $r=b$ hay una discontinuidad de salto. Esto quiere decir que a esa distancia hay una densidad de carga superficial, la cual verifica

$E(b^{+})-E(b^{-})={\frac {\sigma _{s}}{\varepsilon _{0}}}$

Sustituyendo el valor del campo

$\sigma _{s}=\varepsilon _{0}(0-E_{0})=-\varepsilon _{0}E_{0}\qquad \qquad (r=b)$

La carga total almacenada en esta superficie es

$Q_{s}=4\pi b^{2}\sigma _{s}=-4\pi \varepsilon _{0}b^{2}E_{0}$

En r < b

En esta región el campo es variable, lo que indica que existe una densidad de carga. Podemos hallar cuanta carga hay desde el centro hasta una distancia r mediante la ley de Gauss

$Q(r)=\varepsilon _{0}\int _{r}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=4\pi \varepsilon _{0}r^{2}E(r)={\frac {4\pi \varepsilon _{0}E_{0}r^{3}}{b}}$

Al ser proporcional a r al cubo, esta carga es proporcional al volumen de la esfera de radio radial

$Q(r)={\frac {3\varepsilon _{0}E_{0}}{b}}\left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)$

Esto nos dice que para $r<R$ la densidad volumétrica de carga es uniforme e igual adjunta

$\rho ={\frac {3\varepsilon _{0}E_{0}}{b}}\qquad \qquad (r<b)$

Se puede llegar de forma más rigurosa a este resultado empleando el mismo método que en el problema “Campo eléctrico central”.

La carga total almacenada en esta región es

$Q_{v}={\frac {3\varepsilon _{0}E_{0}}{b}}\left({\frac {4\pi }{3}}b^{3}\right)=+4\pi \varepsilon _{0}b^{2}E_{0}$

Es igual y de signo contrario a la que hay en la superficie, lo que nos da una carga total nula.

Potencial en el origen de coordenadas

Para hallar el potencial eléctrico, lo más sencillo es integrar el campo

$V_{O}=-\int _{\infty }^{0}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{\infty }^{b}0\,\mathrm {d} r-\int _{b}^{0}E_{0}{\frac {r}{b}}\mathrm {d} r={\frac {E_{0}b}{2}}$

Energía eléctrica almacenada

Calculamos la energía a partir de su densidad

$U_{\mathrm {e} }=\int {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}|{\vec {E}}|^{2}\,\mathrm {d} v$

En este caso solo hay campo (y densidad de energía) en $r<b$, donde vale

$u_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E_{0}^{2}\left({\frac {r}{b}}\right)^{2}$

Dividimos la esfera en capas concéntricas y nos queda

$U_{\mathrm {e} }={\frac {4\pi \varepsilon _{0}E_{0}^{2}}{2b^{2}}}\int _{0}^{b}r^{4}\mathrm {d} r={\frac {2\pi \varepsilon _{0}E_{0}^{2}b^{3}}{5}}$