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Campo de un segmento (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud 2a cargado uniformemente con una densidad de carga λ0, en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio.

2 Solución

El campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga es

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}')\mathrm{d}l'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}

En nuestro caso, situamos el segmento cargado en el eje OZ y centrado en el origen de coordenadas, de forma que los puntos donde se encuentran las cargas cumplen

\vec{r}'=z'\vec{k}\qquad \qquad \mathrm{d}\vec{r}'=\mathrm{d}z'\vec{k}\qquad\qquad \mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\vec{r}'|=\mathrm{d}z'

la variable z' irá de a a + a.

Para los puntos donde medimos el campo nos dicen que se trata de un punto del plano central z = 0


\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}

No obstante, dado que el sistema tiene simetría de revolución respecto al eje Z podemos considerar simplemente un punto del eje OX y luego generalizar. En este caso

\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}-\vec{r}'=x\vec{\imath}-z'\vec{k}\qquad\qquad \left|\vec{r}-\vec{r}'\right|=\sqrt{x^2+z'^2}

Llevando esto a la integral nos queda

\vec{E}=\frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^a\frac{\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}

Esta integral vectorial se descompone en dos integrales escalares. De éstas, la segunda se anula

\int_{-a}^a \frac{z'\,\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}=0

por tratarse de una integral de una función impar sobre un intervalo simétrico. Esto nos deja con

\vec{E}=\frac{\lambda_0x\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^a\frac{\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}

Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable

z'=x\,\mathrm{tg}(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad x^2+z'^2 = \frac{x^2}{\cos^2(\alpha)}\qquad\qquad \mathrm{d}z'=\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}

Este ángulo posee una interpretación geométrica: es el ángulo de elevación respecto a la horizontal con el que se ve un punto del segmento desde la posición donde queremos hallar el campo. Con este cambio de variable la integral se transforma en

\vec{E}=\frac{\lambda_0 x\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\alpha_0}^{\alpha_0}\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}\,\frac{\cos^3(\alpha)}{x^3}=\frac{\lambda_0\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0 x}\int_{-\alpha_0}^{\alpha_0}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha

El límite de integración lo da el ángulo de elevación del extremo del segmento

\mathrm{tg}(\alpha)_0=\frac{a}{x}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\alpha_0)=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}

Con esto, la expresión para el campo eléctrico queda

\vec{E}=\frac{\lambda_0 \mathrm{sen}(\alpha_0)\vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x}=\frac{\lambda_0 a\vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x\sqrt{x^2+a^2}}

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