Energía de un sistema de cuatro cargas (GIOI)

Enunciado

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

1. $q_{1}=q_{2}=q_{3}=q_{4}=+14\,\mathrm {nC}$.
2. $q_{1}=q_{2}=q_{3}=q_{4}=-14\,\mathrm {nC}$.
3. $q_{1}=q_{3}=+14\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=q_{4}=-14\,\mathrm {nC}$.
4. $q_{1}=q_{2}=+14\,\mathrm {nC}$, $q_{3}=q_{4}=-14\,\mathrm {nC}$.
5. $q_{1}=q_{4}=+14\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=q_{3}=-14\,\mathrm {nC}$.

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo ${\vec {r}}_{1}={\vec {0}}$, ${\vec {r}}_{2}=7{\vec {\imath }}$  cm, ${\vec {r}}_{3}=(7{\vec {\imath }}+24{\vec {\jmath }})$ cm, ${\vec {r}}_{2}=24{\vec {\jmath }}$ cm

Solución

Aplicando, como en el problema “Trabajo para cargas en un triángulo” y en el problema “Energía de un tetraedro de cargas” la energía de un sistema de cargas puntuales

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\mathrm {pares} }{\frac {q_{i}q_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|}}$

En este caso, tenemos cuatro posiciones, siempre las mismas y cargas que vale +14 nC o −14 nC. Las distancias entre ellas son

$|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|=7\,\mathrm {cm} \qquad |{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{3}|=25\,\mathrm {cm} \qquad |{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{4}|=24\,\mathrm {cm}$ $|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{3}|=24\,\mathrm {cm} \qquad |{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{4}|=25\,\mathrm {cm} \qquad |{\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{4}|=7\,\mathrm {cm}$

con esto nos queda la expresión general

$U_{\mathrm {e} }={\frac {9\times 10^{9}\cdot (14\times 10^{-9})^{2}}{0.01}}\left({\frac {s_{1}s_{2}+s_{3}s_{4}}{7}}+{\frac {s_{1}s_{4}+s_{2}s_{3}}{24}}+{\frac {s_{1}s_{3}+s_{2}s_{4}}{25}}\right)$

con $s_{i}=+1$ o $s_{i}=-1$ según el signo de las cargas.

Esto nos da los siguientes valores

Caso 1

$s_{1}=s_{2}=s_{3}=s_{4}=+1$

$U_{e}=+79.2\,\mu \mathrm {J}$

Caso 2

$s_{1}=s_{2}=s_{3}=s_{4}=-1$

$U_{e}=79.2\,\mu \mathrm {J}$

Caso 3

$s_{1}=s_{3}=+1$, $s_{2}=s_{4}=-1$

$U_{e}=-51.0\,\mu \mathrm {J}$

Caso 4

$s_{1}=s_{2}=+1$, $s_{3}=s_{4}=-1$

$U_{e}=+21.6\,\mu \mathrm {J}$

Caso 5

$s_{1}=s_{4}=+1$, $s_{2}=s_{3}=-1$

$U_{e}=-49.8\,\mu \mathrm {J}$

Obsérvese que en este problema no todas las energías de dos cargas positivas y dos negativas son iguale. Depende de donde está cada una.