Problemas de vectores libres (GIC)

Problemas del boletín

Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros

Cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se puede representar como un vector ${\vec {g}}$ de módulo $|g|=9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ , dirección vertical y sentido hacia abajo. Calcula las componentes de ${\vec {g}}$ en los cuatro sistemas de referencia de la figura.

Proyección de un vector y otro perpendicular a él

En estas cuatro configuraciones el vector ${\vec {b}}$ es perpendicular al vector ${\vec {a}}$. Los dos tienen módulo $T$. Encuentra la expresión de los cuatro vectores en los ejes cartesianos mostrados.

Componentes cartesianas de un vector

Calcula las componentes cartesianas de un vector ${\vec {a}}$ con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo $\gamma =22.6^{\circ }$ con el eje $Z$ y cuya proyección en el plano $XY$ forma un ángulo $\alpha =37.0^{\circ }$ con el eje $+X$. Calcula también los ángulos con los ejes $X$ e $Y$.

Ángulo que forman dos vectores

Calcula el angulo que forman los vectores ${\vec {a}}=2\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$ y ${\vec {b}}=-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}$. Calcula también los cosenos directores de ambos vectores.

Diagonales de un rombo

Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

Ángulo capaz de 90^o

Dada una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, y un diámetro ${\overline {AB}}$ cualquiera, demuestra que las cuerdas ${\overline {PA}}$ y ${\overline {PB}}$ se cortan perpendicularmente,para todo punto $P$ perteneciente a la circunferencia (arco capaz de $90^{o}$).

Producto vectorial de dos vectores

Calcula el producto vectorial de los vectores ${\vec {a}}=2.00\,{\vec {\imath }}+3.00\,{\vec {\jmath }}-1.00\,{\vec {k}}$, ${\vec {a}}=-1.00\,{\vec {\imath }}+1.00\,{\vec {\jmath }}+2.00\,{\vec {k}}$, así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.

Teoremas del seno y del coseno

Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

Producto mixto nulo

Dados los vectores ${\vec {A}}$, ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$, demuestra que la relación ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=0$ se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

1. Los tres vectores son colineales.
2. Dos de los vectores son colineales.
3. ${\vec {A}}$, ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$ no son colineales pero sí coplanarios.

Distancia de un punto a un plano

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre ${\vec {a}}=2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}$ y que contiene a un punto $P$, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia $OXYZ$ viene dada por el radio vector ${\vec {r}}={\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}$. Calcula la distancia que separa al origen $O$ de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

Plano definido por dos vectores y un punto y rotación de un vector en el plano

Se tienen los vectores ${\vec {a}}=1.00{\vec {\imath }}+1.00{\vec {k}}$ y ${\vec {b}}=1.00{\vec {\imath }}+1.00{\vec {\jmath }}$. Encuentra la ecuación del plano que es paralelo a los dos vectores y contiene al origen de coordenadas. Encuentra el vector que resulta de rotar $\pi /2$ el vector ${\vec {a}}$ en este plano.

Distancia mínima entre dos rectas

Hallar la menor distancia entre las rectas $\Delta (A,B)$ y $\Gamma (C,D)$, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas $A(1,-2,-1)$ y $B(4,0,-3)$, para el caso de $\Delta$, y $C(1,2,-1)$ y $D(2,-4,-5)$, para la recta $\Gamma .$

Otros problemas

Suma y diferencia de vectores

El vector ${\vec {a}}$ tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de $36.0^{\circ }$ con el eje $X$, mientras que el vector ${\vec {b}}$ tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje $X$. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

Vértices de un tetraedro

Los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$ son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud $\lambda$. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

${\begin{array}{lllll}{\vec {\omega }}_{1}={\overrightarrow {OA}}&&{\vec {\omega }}_{2}={\overrightarrow {AB}}&&{\vec {\omega }}_{3}={\overrightarrow {BO}}\\{\vec {\omega }}_{4}={\overrightarrow {OC}}&&{\vec {\omega }}_{5}={\overrightarrow {AC}}&&{\vec {\omega }}_{6}={\overrightarrow {BC}}\end{array}}$

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$, tal que la cara $OAB$ del tetraedro está contenida en el plano $OXY$, y el vértice $B$ es un punto del eje $OY$ (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

Volumen de un tetraedro

Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas $A(0,1,1)$ y $B(2,-1,2)$, y que dos de las aristas que concurren en $B$ están definidas por los vectores libres ${\vec {v}}_{1}=2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ y ${\vec {v}}_{2}=4{\vec {k}}$ (las coordenadas están en metros).

Volumen de un paralelepípedo

Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ y ${\overrightarrow {OC}}$. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas $O(1,0,2)$, $A(3,2,4)$, $B(2,6,8)$ y $C(2,-3,1)$ (unidades medidas en metros).

Recta soporte de un vector deslizante

Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor ${\vec {a}}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}$ y su momento respecto al origen de coordenadas es ${\overrightarrow {M}}_{O}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

Derivada de un vector

Un punto recorre una circunferencia de radio $R$, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo $\alpha$ con el eje $OX$.

1. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo $\alpha$.
2. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo $\alpha$.
3. Si el ángulo $\alpha$ depende del tiempo como $\alpha =\omega t$, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

Vectores formando un triángulo rectángulo

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1. ${\vec {a}}=(-{\vec {\imath }}+4\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=(2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(-{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$
2. ${\vec {a}}=(3\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=(2\,{\vec {\imath }}-3\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(5\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$
3. ${\vec {a}}=({\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}+3\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=(-2\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$
4. ${\vec {a}}=(3\,{\vec {\jmath }}+3\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=({\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$

Condiciones sobre producto escalar y vectorial

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

1. ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$
2. ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}$

siendo ${\vec {A}}\neq 0$, entonces ${\vec {B}}={\vec {C}}$; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces ${\vec {B}}\neq {\vec {C}}$.

Descomposición de un vector

Dados un vector cualquiera ${\vec {A}}$ y un vector unitario ${\vec {u}}$, expresa el vector ${\vec {A}}$ como la suma de un vector paralelo a ${\vec {u}}$ y otro perpendicular a ${\vec {u}}$.