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Ángulo que forman dos vectores (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Calcule el angulo que forman los vectores \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k} y \vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}. Calcule también los cosenos directores de ambos vectores.

2 Solución

El producto escalar de dos vectores es


\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta

siendo θ el ángulo que forman los vectores. Es decir


\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Como están expresados en una base cartesiana es fácil hacer estas operaciones. El producto escalar es


\vec{a}\cdot\vec{b} = -2 + 3 -2 = -1

Los módulos de los vectores son


\begin{array}{l}
|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}} = \sqrt{ 4+9+1} = \sqrt{14}\\
\\
|\vec{b}| = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}} = \sqrt{ 1+1+4} = \sqrt{6}
\end{array}

El coseno del ángulo es


\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = -0.109

El ángulo es


\theta = 1.68\,\mathrm{rad} = 96.3\,\mathrm{^{\circ}}

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados. Para el vector \vec{a} tenemos


\begin{array}{l}
\cos\alpha_x = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{a_x}{|\vec{a}|} = 0.535\\
\\
\cos\alpha_y = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{a_y}{|\vec{a}|} = 0.802\\
\\
\cos\alpha_z = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{k}}{|\vec{a}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{a_z}{|\vec{a}|} = -0.267
\end{array}

Puede comprobarse que cos2αx + cos2αy + cos2αz = 1.00

Para el vector \vec{b} tenemos


\begin{array}{l}
\cos\beta_x = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{b_x}{|\vec{b}|} = -0.408\\
\\
\cos\beta_y = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{b_y}{|\vec{b}|} = 0.408\\
\\
\cos\beta_z = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{k}}{|\vec{b}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{b_z}{|\vec{b}|} = 0.816
\end{array}

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