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Producto mixto nulo (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dados los vectores \vec{A}, \vec{B} y \vec{C}, demuestre que la relación \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C})=0 se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

  1. Los tres vectores son colineales.
  2. Dos de los vectores son colineales.
  3. \vec{A}, \vec{B} y \vec{C} no son colineales pero sí coplanarios.

2 Solución

Veamos cada uno de los casos

2.1 Los tres vectores colineales

En este caso \vec{B} y \vec{C} son paralelos, por lo que su producto vectorial es nulo, \vec{B}\times\vec{C}=0, con lo cual se cumple la igualdad.

2.2 Dos vectores colineales

Si \vec{B} y \vec{C} son colineales recuperamos el caso anterior.

Supongamos que \vec{A} y \vec{B} son colineales. Como \vec{B}\times\vec{C} es perpendicular a \vec{B} y \vec{C}, el producto escalar \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) es nulo, pues \vec{A} también es perpendicular al producto vectorial. Lo mismo ocurre si \vec{A} y \vec{C} son paralelos.

2.3 Coplanarios

El producto vectorial \vec{B}\times\vec{C} es perpendicular al plano definido por \vec{B} y \vec{C}. Por tanto es perpendicular a \vec{A}, por lo que la igualdad se cumple.

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