Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros (G.I.C.)

Enunciado

Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros]]=== Cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se puede representar como un vector ${\vec {g}}$ de módulo $|g|=9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ , dirección vertical y sentido hacia abajo. Calcule las componentes de ${\vec {g}}$ en los cuatro sistemas de referencia de la figura.

Solución

Diedro 1

Archivo:Proyeccion gravedad d1.png

La aceleración de la gravedad es un vector. Su expresión debe hacer en una base vectorial. En este primer caso escogemos los ejes de modo que el eje $OY_{1}$ sea perpendicular al suelo y el eje $OX_{1}$ horizontal. De este modo, el vector ${\vec {g}}$ es paralelo al eje $OY_{1}$, apuntando en sentido contrario a él. SU expresión en esta base es

${\vec {g}}=-g\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Diedro 2

Ahora los ejes del diedro están girados respecto a la horizontal. Cada eje tiene asociado su vector unitario como se indica en la figura. Para proyectar el vector ${\vec {g}}$ lo desplazamos hasta el origen del diedro. Prolongamos las líneas que corresponden a los ejes. En la figura se indica cual de los ángulos de la prolongación corresponde a $\pi /6$. Ahora podemos proyectar el vector ${\vec {g}}$

${\vec {g}}=-g\,\mathrm {sin} \,\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\,{\vec {\imath }}_{2}-g\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\,{\vec {\jmath }}_{2}=-{\dfrac {1}{2}}g\,{\vec {\imath }}_{2}-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}g\,{\vec {\jmath }}_{2}$

Los signos menos se deben a que las proyecciones apuntan en sentido contrario a los vectores ${\vec {\imath }}_{2}$, ${\vec {\jmath }}_{2}$.

Diedro 3

En este caso vamos a trasladar los vectores de la base hasta el vector ${\vec {g}}$, como se ve en la figura. Ahora identificamos el angulo en las prolongaciones como el opuesto por el vértice de $\pi /6$. Tenemos

${\vec {g}}=-g\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\,{\vec {\imath }}_{3}+g\,\mathrm {sin} \,\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\,{\vec {\jmath }}_{3}=-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}g\,{\vec {\imath }}_{3}+{\dfrac {1}{2}}g\,{\vec {\jmath }}_{3}$

Diedro 4

Como vemos en la figura la proyección es

${\vec {g}}=g\,\mathrm {sin} \,\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\,{\vec {\imath }}_{4}-g\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\,{\vec {\jmath }}_{4}={\dfrac {1}{2}}g\,{\vec {\imath }}_{4}-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}g\,{\vec {\jmath }}_{4}$