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Vértices de un tetraedro (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:


\begin{array}{lllll}
\vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\overrightarrow{BO}\\
\vec{\omega}_4=\overrightarrow{OC} && \vec{\omega}_5=\overrightarrow{AC} && \vec{\omega}_6=\overrightarrow{BC}
\end{array}

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

2 Solución

De la figura podemos obtener las coordenadas de los puntos O y B,


  O(0,0,0),\,\,\,\,B(0,\lambda,0)

Para averiguar las coordenadas del punto A nos fijamos en el dibujo. Las caras del tetraedro son triángulos equiláteros, por los cual sus ángulos son todos π / 3. Expresado en la base cartesiana asociada al triedro, el vector \vec{\omega}_1 es


  \begin{array}{ll}
  \vec{\omega}_1 &= \lambda\,\mathrm{sen}\,{(\pi/3)}\vec{\imath} +
  \lambda\cos{(\pi/3)}\vec{\jmath}    \\
  &= \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}\vec{\imath} + \dfrac{\lambda}{2}\vec{\jmath}
  \end{array}

y las coordenadas del punto A son


  A(\dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2},\dfrac{\lambda}{2},0)

Las componentes de los vectores \vec{\omega}_1 y \vec{\omega}_3 son


  \begin{array}{l}
    \vec{\omega}_1 = \overrightarrow{OA} = \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}\vec{\imath} + \dfrac{\lambda}{2}\vec{\jmath}\\
    \vec{\omega}_3 = \overrightarrow{BO} = -\vec{\jmath}\\
  \end{array}

Las coordenadas del punto C(x,y,z) pueden obtenerse calculando el vector \vec{\omega}_4=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}. De este vector conocemos su módulo


  |\vec{\omega}_4|^2 = x^2+y^2+z^2 = \lambda^2

Como las caras son triángulos equiláteros, todos los ángulos entre las aristas son de π / 3, por lo cual también conocemos los productos escalares con los vectores \vec{\omega}_1 y \vec{\omega}_3


  \begin{array}{l}
    \vec{\omega}_4\cdot\vec{\omega}_1 = \lambda^2\cos(\pi/3) = \lambda^2/2\\
    \vec{\omega}_4\cdot(-\vec{\omega}_3) = -\lambda^2\cos(\pi/3) = -\lambda^2/2
  \end{array}

Por otro lado podemos expresar estos productos escalares en función de las componentes de los vectores


  \begin{array}{l}
    \vec{\omega}_4\cdot\vec{\omega}_1 = \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}x + \dfrac{\lambda}{2}y\\
    \vec{\omega}_4\cdot(-\vec{\omega}_3) = -\lambda y
  \end{array}

Estas expresiones nos proporcionan tres ecuaciones con tres incógnitas


  \begin{array}{l}
    x^2 + y^2 + z^2 = \lambda^2\\ \\
    \dfrac{\lambda^2}{2} = \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}x +\dfrac{\lambda}{2}y\\ \\
    -\dfrac{\lambda^2}{2} = -\lambda y
  \end{array}

Resolviéndolo obtenemos las coordenadas de C


  C\left(\dfrac{\lambda\sqrt{3}}{6},\dfrac{\lambda}{2},\dfrac{\lambda\sqrt{6}}{3}\right)

Hay que señalar que hemos descartado la otra solución de la primera ecuación z=-\lambda\sqrt{6}/3. Este caso representa un tetraedro simétrico al del dibujo respecto al plano OXY, es decir, con el vértice C por debajo del plano.

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