Vértices de un tetraedro (G.I.A.)

Enunciado

Los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$ son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud $\lambda$. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

${\begin{array}{lllll}{\vec {\omega }}_{1}={\overrightarrow {OA}}&&{\vec {\omega }}_{2}={\overrightarrow {AB}}&&{\vec {\omega }}_{3}={\overrightarrow {BO}}\\{\vec {\omega }}_{4}={\overrightarrow {OC}}&&{\vec {\omega }}_{5}={\overrightarrow {AC}}&&{\vec {\omega }}_{6}={\overrightarrow {BC}}\end{array}}$

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$, tal que la cara $OAB$ del tetraedro está contenida en el plano $OXY$, y el vértice $B$ es un punto del eje $OY$ (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

Solución

De la figura podemos obtener las coordenadas de los puntos $O$ y $B$,

$O(0,0,0),\,\,\,\,B(0,\lambda ,0)$

Para averiguar las coordenadas del punto $A$ nos fijamos en el dibujo. Las caras del tetraedro son triángulos equiláteros, por los cual sus ángulos son todos $\pi /3$. Expresado en la base cartesiana asociada al triedro, el vector ${\vec {\omega }}_{1}$ es

${\begin{array}{ll}{\vec {\omega }}_{1}&=\lambda \,\mathrm {sen} \,{(\pi /3)}{\vec {\imath }}+\lambda \cos {(\pi /3)}{\vec {\jmath }}\\&={\dfrac {\lambda {\sqrt {3}}}{2}}{\vec {\imath }}+{\dfrac {\lambda }{2}}{\vec {\jmath }}\end{array}}$

y las coordenadas del punto $A$ son

$A({\dfrac {\lambda {\sqrt {3}}}{2}},{\dfrac {\lambda }{2}},0)$

Las componentes de los vectores ${\vec {\omega }}_{1}$ y ${\vec {\omega }}_{3}$ son

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{1}={\overrightarrow {OA}}={\dfrac {\lambda {\sqrt {3}}}{2}}{\vec {\imath }}+{\dfrac {\lambda }{2}}{\vec {\jmath }}\\{\vec {\omega }}_{3}={\overrightarrow {BO}}=-{\vec {\jmath }}\\\end{array}}$

Las coordenadas del punto $C(x,y,z)$ pueden obtenerse calculando el vector ${\vec {\omega }}_{4}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}+z{\vec {k}}$. De este vector conocemos su módulo

$|{\vec {\omega }}_{4}|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=\lambda ^{2}$

Como las caras son triángulos equiláteros, todos los ángulos entre las aristas son de $\pi /3$, por lo cual también conocemos los productos escalares con los vectores ${\vec {\omega }}_{1}$ y ${\vec {\omega }}_{3}$

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{4}\cdot {\vec {\omega }}_{1}=\lambda ^{2}\cos(\pi /3)=\lambda ^{2}/2\\{\vec {\omega }}_{4}\cdot (-{\vec {\omega }}_{3})=-\lambda ^{2}\cos(\pi /3)=-\lambda ^{2}/2\end{array}}$

Por otro lado podemos expresar estos productos escalares en función de las componentes de los vectores

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{4}\cdot {\vec {\omega }}_{1}={\dfrac {\lambda {\sqrt {3}}}{2}}x+{\dfrac {\lambda }{2}}y\\{\vec {\omega }}_{4}\cdot (-{\vec {\omega }}_{3})=-\lambda y\end{array}}$

Estas expresiones nos proporcionan tres ecuaciones con tres incógnitas

${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=\lambda ^{2}\\\\{\dfrac {\lambda ^{2}}{2}}={\dfrac {\lambda {\sqrt {3}}}{2}}x+{\dfrac {\lambda }{2}}y\\\\-{\dfrac {\lambda ^{2}}{2}}=-\lambda y\end{array}}$

Resolviéndolo obtenemos las coordenadas de $C$

$C\left({\dfrac {\lambda {\sqrt {3}}}{6}},{\dfrac {\lambda }{2}},{\dfrac {\lambda {\sqrt {6}}}{3}}\right)$

Hay que señalar que hemos descartado la otra solución de la primera ecuación $z=-\lambda {\sqrt {6}}/3$. Este caso representa un tetraedro simétrico al del dibujo respecto al plano $OXY$, es decir, con el vértice $C$ por debajo del plano.