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Recta soporte de un vector deslizante (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor \vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k} y su momento respecto al origen de coordenadas es \overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

2 Solución

Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera P perteneciente a la recta soporte, el momento respecto al punto O es


\overrightarrow{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{a}

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por \vec{a}


\vec{a}\times\overrightarrow{M}_O = \vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a})

Queremos despejar el vector \overrightarrow{OP} . Desarrollamos el doble producto vectorial


\vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a}) 
=
\left|
\begin{array}{cc}
\overrightarrow{OP} & \vec{a} \\ 
&\\
\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP} & \vec{a}\cdot\vec{a}
\end{array}
\right|
=
|\vec{a}|^2\,\overrightarrow{OP} - (\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP})\,\vec{a}

Seguimos sin poder despejar el vector \overrightarrow{OP} pues aparece multiplicado escalarmente por \vec{a} en el segundo término.

Sin embargo, el punto P es un punto cualquiera de la recta. En particular, podemos escoger el punto de la recta P * tal que el vector \overrightarrow{OP^*} sea perpendicular a \vec{a} . Para ese punto se tiene \overrightarrow{OP^*}\cdot\vec{a} =0 y podemos despejarlo de la expresión anterior


\overrightarrow{OP^*} = \dfrac{\vec{a}\times\overrightarrow{M}_O}{|\vec{a}|^2} =
\dfrac{1}{2}\,\vec{\imath} - \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath}

Entonces la ecuación vectorial de la recta es


\Delta \equiv \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP^*} + \lambda\,\vec{a} =
\left[\dfrac{1}{2}+\lambda, -\dfrac{1}{2}+\lambda, -2\lambda\right]

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