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Diagonales de un rombo (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

2 Solución

Nombramos los vértices del rombo A, B, C, D, como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores


  \begin{array}{cccc}
    \overrightarrow{AB},&\overrightarrow{BC},&\overrightarrow{CD},&\overrightarrow{DA}.
  \end{array}

Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es


  \begin{array}{ccc}
    \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},&&\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}
  \end{array}

Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los vectores de los lados


  \begin{array}{cc}
    \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\\ \\
    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
  \end{array}

El producto escalar de los vectores de las diagonales es


  \begin{array}{ll}
  \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}& =
  (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\\
  &=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+
    \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}
  \end{array}

Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos


  \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=
  \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+
    \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}

El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un vector por si mismo, es decir


  \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2

Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado del rombo. Por tanto


  \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\, \to\, \overrightarrow{AC}\,\perp\,\overrightarrow{BD}

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