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Descomposición de un vector (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Dados un vector cualquiera \vec{A} y un vector unitario \vec{u}, expresa el vector \vec{A} como la suma de un vector paralelo a \vec{u} y otro perpendicular a \vec{u}.

2 Solución

Hay que expresar el vector \vec{A} como


\vec{A} = \vec{A}_{\parallel} + \vec{A}_{\perp},

donde \vec{A}_{\parallel}\parallel\vec{u} y \vec{A}_{\perp}\perp\vec{u}, siendo |\vec{u}|=1.

Para encontrar \vec{A}_{\parallel} usamos que el producto escalar de \vec{A} por \vec{u} es la proyección de \vec{A} sobre \vec{u}. Para obtener el vector \vec{A}_{\parallel} basta con multiplicar esta proyección por \vec{u}


\vec{A}_{\parallel} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u}.

El módulo de \vec{A}_{\perp} se obtiene con el producto vectorial


|\vec{A}_{\perp}| = |\vec{A}\times\vec{u}|

Debemos hallar un vector unitario \vec{u}_{\perp} que sea perpendicular a \vec{u} y que esté en el plano definido por \vec{A} y \vec{u}. El vector


\vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}

es unitario y perpendicular al plano definido por \vec{A} y \vec{u}. Entonces


\vec{u}_{\perp} = \vec{u}\times\vec{v}.

Entonces


\vec{A}_{\perp} = |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}_{\perp} 
=
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\vec{v}
=
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
=
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u})

Es decir


\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u} +
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u}).

El primer vector es paralelo a \vec{u} y el segundo perpendicular.

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