Derivada de un vector (G.I.C.)

Enunciado

Un punto recorre una circunferencia de radio $R$, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo $\alpha$ con el eje $OX$.

1. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo $\alpha$.
2. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo $\alpha$.
3. Si el ángulo $\alpha$ depende del tiempo como $\alpha =\omega t$, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

Solución

Vector en función del ángulo $\alpha$

Proyectamos el vector de posición sobre los ejes $OX$ y $OY$

${\vec {r}}(\alpha )=R\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}$

También podemos escribir el vector en términos de sus componentes cartesianas

${\vec {r}}(\alpha )\equiv \left\{{\begin{array}{l}x=R\cos \alpha \\\\y=R\,\mathrm {sen} \,\alpha \\\\z=0\end{array}}\right.$

Derivada del vector respecto de $\alpha$

Los vectores de la base cartesiana no cambian cuando el ángulo $\alpha$ varía. Así pues, la derivada del vector ${\vec {r}}(\alpha )$ es el vector

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \alpha }}={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \alpha }}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \alpha }}\,{\vec {\jmath }}+{\dfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} \alpha }}\,{\vec {k}}=-R\,\mathrm {sen} \alpha \,{\vec {\imath }}+R\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}$

En la figura se muestra la dirección de este vector. Como el módulo de ${\vec {r}}(\alpha )$ es constante (e igual a $R$), el vector derivada apunta en la dirección y sentido en que se mueve el extremo del vector ${\vec {r}}(\alpha )$.

Derivada respecto al tiempo

Ahora el ángulo $\alpha$ es una función del tiempo

$\alpha (t)=\omega t$

Aplicamos la regla de la cadena

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \alpha }}\right)\left({\dfrac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} t}}\right)$

Tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} t}}=\omega$

Por tanto

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\omega \,\left({\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \alpha }}\right)=-R\,\omega \,\mathrm {sen} (\omega t)\,{\vec {\imath }}+R\,\omega \cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}$