Plano definido por dos vectores y un punto y rotación de un vector en el plano

Enunciado

Se tienen los vectores ${\vec {a}}=1.00{\vec {\imath }}+1.00{\vec {k}}$ y ${\vec {b}}=1.00{\vec {\imath }}+1.00{\vec {\jmath }}$. Encuentra la ecuación del plano que es paralelo a los dos vectores y contiene al origen de coordenadas. Encuentra el vector que resulta de rotar $\pi /2$ el vector ${\vec {a}}$ en este plano.

Solución

Construimos un vector perpendicular al plano haciendo el producto vectorial de los dos vectores dados

${\vec {N}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}=-1.00\,{\vec {\imath }}+1.00\,{\vec {\jmath }}+1.00\,{\vec {k}}.$

La ecuación de un plano perpendicular a ${\vec {N}}$ es

$\Pi \equiv -x+y+z+d=0.$

Hemos usado que los coeficientes de $x$, $y$, $z$ son las componentes del vector normal al plano. Como debe pasar por el origen, se tiene

$\Pi (0,0,0)\equiv -0+0+0+d=0\longrightarrow d=0.$

La ecuación final del plano es

$\Pi \equiv -x+y+z=0.$

Para rotar $\pi /2$ radianes el vector ${\vec {a}}$, que está contenido en el plano, podemos multiplicarlo vectorialmente por un vector unitario normal al plano. Este vector se calcula así

${\vec {n}}={\dfrac {\vec {N}}{|{\vec {N}}|}}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\,\left(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\right).$

Por tanto el vector rotado es

${\vec {b}}={\vec {n}}\times {\vec {a}}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\,\left({\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\right).$