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Plano definido por dos vectores y un punto y rotación de un vector en el plano

De Laplace

1 Enunciado

Se tienen los vectores \vec{a}=1.00\vec{\imath} + 1.00\vec{k} y \vec{b} = 1.00\vec{\imath} + 1.00\vec{\jmath}. Encuentra la ecuación del plano que es paralelo a los dos vectores y contiene al origen de coordenadas. Encuentra el vector que resulta de rotar π / 2 el vector \vec{a} en este plano.

2 Solución

Construimos un vector perpendicular al plano haciendo el producto vectorial de los dos vectores dados


\vec{N} =
\vec{a}\times\vec{b} = -1.00\,\vec{\imath} + 1.00\,\vec{\jmath} + 1.00\,\vec{k}.

La ecuación de un plano perpendicular a \vec{N} es


\Pi \equiv -x + y + z + d=0.

Hemos usado que los coeficientes de x, y, z son las componentes del vector normal al plano. Como debe pasar por el origen, se tiene


\Pi(0,0,0) \equiv -0 + 0 + 0 + d=0 \longrightarrow d =0.

La ecuación final del plano es


\Pi \equiv -x + y + z =0.

Para rotar π / 2 radianes el vector \vec{a}, que está contenido en el plano, podemos multiplicarlo vectorialmente por un vector unitario normal al plano. Este vector se calcula así


\vec{n} = \dfrac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = 
\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\left( -\vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k}\right).

Por tanto el vector rotado es


\vec{b} = \vec{n}\times\vec{a} = 
\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\left( \vec{\imath} + 2\vec{\jmath} - \vec{k}\right).

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