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Componentes cartesianas de un vector (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Calcule las componentes cartesianas de un vector \vec{a} con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo \gamma=22.6^{\circ} con el eje OZ y cuya proyección en el plano OXY forma un ángulo \alpha=37.0^{\circ} con el eje OX. Calcule también los ángulos con los ejes OX y OY.

2 Solución

La figura muestra el vector y su orientación respecto a los ejes. La componente sobre el eje Z se obtiene proyectando ortogonalmente el vector sobre el eje


  a_z = |\vec{a}|\cos\gamma=a\,\cos\gamma

La proyección sobre el plano XY es


  a_{XY}=a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma

La componente ax del vector se obtiene proyectando a su vez la proyección del vector sobre el X usando el ángulo α


  a_x = a_{XY}\cos\alpha=a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\cos\alpha

Y la componente ay usando el seno del ángulo α


  a_y = a_{XY}\,\mathrm{sen}\,\alpha = a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\,\mathrm{sen}\,\alpha

Finalmente, la expresión del vector \vec{a} en la base cartesiana es


  \vec{a} = a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\cos\alpha\,\vec{\imath} + a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} + a\,\cos\gamma\,\vec{k}=
  3.99\,\vec{\imath} + 3.01\,\vec{\jmath} + 12.0\,\vec{k}

2.1 Cosenos directores

Calcular los ángulos que el vector forma con los ejes es calcular sus cosenos directores. Para ellos usamos el producto escalar del vector con un vector unitario paralelo a cada uno de los ejes. Tenemos


  \left.
  \begin{array}{l}
    \cos\alpha_x = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\imath}}{a}=0.307\Longrightarrow
    \alpha_x = 72.1^{\circ}=1.26\,\mathrm{rad}\\ \\
    \cos\alpha_y = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\jmath}}{a}=0.232\Longrightarrow
    \alpha_y = 76.6^{\circ}=1.34\,\mathrm{rad}\\ \\
    \cos\alpha_z = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{k}}{a}=0.923\Longrightarrow
    \alpha_z = 22.6^{\circ}=0.395\,\mathrm{rad}\\ \\
  \end{array}
  \right.

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