Componentes cartesianas de un vector (G.I.A.)

Enunciado

Calcule las componentes cartesianas de un vector ${\vec {a}}$ con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo $\gamma =22.6^{\circ }$ con el eje $OZ$ y cuya proyección en el plano $OXY$ forma un ángulo $\alpha =37.0^{\circ }$ con el eje $OX$. Calcule también los ángulos con los ejes $OX$ y $OY$.

Solución

La figura muestra el vector y su orientación respecto a los ejes. La componente sobre el eje $Z$ se obtiene proyectando ortogonalmente el vector sobre el eje

$a_{z}=|{\vec {a}}|\cos \gamma =a\,\cos \gamma$

La proyección sobre el plano $XY$ es

$a_{XY}=a\,\,\mathrm {sen} \,\gamma$

La componente $a_{x}$ del vector se obtiene proyectando a su vez la proyección del vector sobre el $X$ usando el ángulo $\alpha$

$a_{x}=a_{XY}\cos \alpha =a\,\,\mathrm {sen} \,\gamma \,\cos \alpha$

Y la componente $a_{y}$ usando el seno del ángulo $\alpha$

$a_{y}=a_{XY}\,\mathrm {sen} \,\alpha =a\,\,\mathrm {sen} \,\gamma \,\,\mathrm {sen} \,\alpha$

Finalmente, la expresión del vector ${\vec {a}}$ en la base cartesiana es

${\vec {a}}=a\,\,\mathrm {sen} \,\gamma \,\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+a\,\,\mathrm {sen} \,\gamma \,\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}+a\,\cos \gamma \,{\vec {k}}=3.99\,{\vec {\imath }}+3.01\,{\vec {\jmath }}+12.0\,{\vec {k}}$

Cosenos directores

Calcular los ángulos que el vector forma con los ejes es calcular sus cosenos directores. Para ellos usamos el producto escalar del vector con un vector unitario paralelo a cada uno de los ejes. Tenemos

$\left.{\begin{array}{l}\cos \alpha _{x}={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {\imath }}}{a}}=0.307\Longrightarrow \alpha _{x}=72.1^{\circ }=1.26\,\mathrm {rad} \\\\\cos \alpha _{y}={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {\jmath }}}{a}}=0.232\Longrightarrow \alpha _{y}=76.6^{\circ }=1.34\,\mathrm {rad} \\\\\cos \alpha _{z}={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {k}}}{a}}=0.923\Longrightarrow \alpha _{z}=22.6^{\circ }=0.395\,\mathrm {rad} \\\\\end{array}}\right.$