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Distancia de un punto a un plano (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a} = 2\vec{\imath} +3\vec{\jmath} + 6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector \vec{r}=\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+3\vec{k}. Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

2 Solución

Tenemos el vector normal al plano, \vec{a} y el vector de posición del punto P


  \begin{array}{l}
  \vec{a} = 2\vec{\imath} + 3\vec{\jmath} + 6\vec{k},\\
  \vec{r} =\overrightarrow{OP} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}.  
  \end{array}

Sea Q(x,y,z) un punto cualquiera del plano π. Entonces el vector \overrightarrow{PQ} debe ser perpendicular al vector \vec{a}, esto es


  {\overrightarrow{PQ}}\cdot{\vec{a}} = (x-1)2 + (y-5)3 +(z-3)6=0.

Por tanto la ecuación del plano es

2x + 3y + 6z = 35.

Hay que señalar que los coeficientes de las coordenadas son precisamente las componentes del vector \vec{a}.

La distancia entre el punto O y el plano es la proyección del vector \overrightarrow{OP} sobre el vector normal al plano, \vec{a}


  d(O,\pi) = \dfrac{{\overrightarrow{OP}}\cdot{\vec{a}}}{|\vec{a}|} =
  5 \,\mathrm{m}

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