Distancia mínima entre dos rectas

Enunciado

Hallar la menor distancia entre las rectas $\Delta (A,B)$ y $\Gamma (C,D)$, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas $A(1,-2,-1)$ y $B(4,0,-3)$, para el caso de $\Delta$, y $C(1,2,-1)$ y $D(2,-4,-5)$, para la recta $\Gamma .$

Solución

Podemos construir un plano que sea paralelo a las dos rectas y que contenga a una de ellas, por ejemplo $\Delta$. El vector normal a este plano debe ser perpendicular a las dos rectas. Por tanto podemos escoger el producto vectorial de los vectores que definen las rectas

${\vec {a}}={\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\3&2&-2\\1&-6&-4\end{array}}\right|=-20{\vec {\imath }}+10{\vec {\jmath }}-20{\vec {k}}$

Ahora bien, todos los puntos de la recta $\Gamma$ están a la misma distancia de este plano, entre ellos el más cercano a la recta $\Delta$. Por tanto la distancia entre las dos rectas es la distancia de la recta $\Gamma$ a este plano. Pero vimos en el problema anterior que la distancia de un punto a un plano es la proyección sobre el vector perpendicular al plano de un vector con un extremo en el punto y otro en el plano. Como nos vale cualquier punto de la recta $\Gamma$ y cualquier punto del plano, podemos escoger como vector el ${\overrightarrow {CA}}$. Así pues, la distancia entre las dos rectas es

$d(\Delta ,\Gamma )={\dfrac {{\overrightarrow {CA}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {a}}|}}={\dfrac {{\overrightarrow {CA}}\cdot ({{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {CD}})}}{|{\overrightarrow {AB}}\times {{\overrightarrow {CD}}|}}}=-{\dfrac {4}{3}}$

El signo menos aparece por la orientación escogida de los vectores. La distancia es simplemente el valor absoluto,

$d(\Delta ,\Gamma )={\dfrac {4}{3}}\,\mathrm {m}$

El vector de menor módulo que une las dos rectas es el que tiene la dirección de ${\vec {a}}$ con módulo 4/3, es decir

${\vec {n}}={\dfrac {4}{3}}{\dfrac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}=-{\dfrac {8}{9}}{\vec {\imath }}+{\dfrac {4}{9}}{\vec {\jmath }}-{\dfrac {8}{9}}{\vec {k}}$

Cálculo de los puntos más próximos

Para determinar los puntos de las rectas $\Delta$ y $\Gamma$ que une este vector podemos hacer lo siguiente. Un punto genérico de estas rectas es

${\begin{array}{lll}{\overrightarrow {OP}}_{\Delta }={\overrightarrow {OA}}+\delta {\overrightarrow {AB}}=\left\{{\begin{array}{l}x=1+3\delta \\y=-2+2\delta \\z=-1-2\delta \end{array}}\right.&&{\overrightarrow {OP}}_{\Gamma }={\overrightarrow {OC}}+\gamma {\overrightarrow {CD}}=\left\{{\begin{array}{l}x=1+\gamma \\y=2-6\gamma \\z=-1-4\gamma \end{array}}\right.\end{array}}$

Así pues, el vector que une dos puntos cualquiera de las rectas es

${\overrightarrow {P_{\Delta }P_{\Gamma }}}=(\gamma -3\delta ){\vec {\imath }}+(4-6\gamma -2\delta ){\vec {\jmath }}+(-4\gamma +2\delta ){\vec {k}}$

Los puntos $P_{\Delta }^{*}$ y $P_{\Gamma }^{*}$ que están mas cerca uno de otro son tales que el vector ${\overrightarrow {P_{\Delta }^{*}P_{\Gamma }^{*}}}$ es paralelo a ${\vec {n}}$. Imponiendo esta condición nos queda un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

${\vec {n}}\times {\overrightarrow {P_{\Delta }^{*}P_{\Gamma }^{*}}}={\vec {0}}\Longrightarrow {\begin{array}{l}9\gamma -27\delta +8=0\\54\gamma +18\delta -32=0\\36\gamma -18\delta -8=0\end{array}}$

El determinante de este sistema es nulo, lo cual indica que una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras dos. Eliminando una de ellas y resolviendo el sistema se obtiene

$\gamma =\delta =4/9$

Sustituyendo obtenemos los puntos de las rectas unidos por el vector de menor módulo, ${\vec {n}}$

${\begin{array}{lll}P_{\Delta }=(7/3,-10/9,-17/9)&&P_{\Gamma }=(13/9,-2/3,-25/9)\end{array}}$

Método alternativo de resolución

Otra forma de atacar el problema es utilizar directamente la expresión que da la forma general de un vector que uno dos puntos cualesquiera de las rectas en función de dos parámetros. El vector pedido en el enunciado es aquel cuyo módulo es mínimo, es decir, hemos de exigir

$|{\overrightarrow {P_{\Delta }P_{\Gamma }}}|\quad \mathrm {minimo} \Rightarrow |{\overrightarrow {P_{\Delta }P_{\Gamma }}}|^{2}\quad \mathrm {minimo}$

Esto es, hay que encontrar un mínimo de la función de dos variables

$f(\delta ,\gamma )=|{\overrightarrow {P_{\Delta }P_{\Gamma }}}|^{2}=(3\delta -\gamma )^{2}+(2\delta +6\gamma -4)^{2}+(4\gamma -2\delta )^{2}=16-16\delta +17\delta ^{2}-48\gamma +53\gamma ^{2}+2\delta \gamma$

La condición para encontrar un mínimo es que las derivadas parciales respecto a los parámetros se anulen. Es decir

$\left.{\begin{array}{l}{\frac {\displaystyle \partial f}{\displaystyle \partial \delta }}=34\delta +2\gamma -16=0\\\\{\frac {\displaystyle \partial f}{\displaystyle \partial \gamma }}=2\delta +106\gamma -48=0\end{array}}\right.$

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones para dos incógnitas encontramos que el valor de los parámetros para el cual la distancia entre los puntos de la recta es mínima son

$\delta =\gamma ={\dfrac {4}{9}}$

Vemos que son los mismos valores que hallamos con el método anterior, como es lógico. A partir de aquí obtendríamos el vector buscado sustituyendo los valores en las rectas para obtener los puntos y unirlos con el vector buscado.