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Volumen de un tetraedro (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2, − 1,2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres \vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k} y \vec{v}_2 =  4 \vec{k} (las coordenadas están en metros).

2 Solución

El vector \overrightarrow{BA} es


  \overrightarrow{BA} = -2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k}

Podemos verificar que \overrightarrow{AB}, \vec{v}_1 y \vec{v}_2 no son colineales calculando su producto mixto


  \overrightarrow{BA}\cdot(\vec{v}_1\times\vec{v}_2) = \left|
    \begin{array}{ccc}
     -2 &  2 & -1\\
      2 & -3 & 1\\
      0 &  0 & 4
    \end{array}
  \right| = 8\neq 0

En cada vértice de un tetraedro concurren tres aristas, luego estos tres vectores son las aristas que concurren en B. Esto nos define el tetraedro completo, como se muestra en la figura

El volumen de un tetraedro


  V = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S h

donde S es el área de una de las caras y h es la altura, es decir, la distancia entre esa cara y el vértice opuesto.

Si consideramos como base la cara formada por los vectores \overrightarrow{BA} y \vec{v}_1, su área es


  S = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1|,

mientras que la altura h es precisamente la proyección de \vec{v}_2 sobre la dirección del vector \overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1


  h = \frac{\displaystyle\vec{v}_2\cdot(\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1)}
  {\displaystyle|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1|}

Sustituyendo queda


  V = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\vec{v}_2\cdot(\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1)=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}\,\mathrm{m^2}

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