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Ángulo capaz de 90 (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro \overline{AB} cualquiera, demuestre que las cuerdas \overline{PA} y \overline{PB} se cortan perpendicularmente,para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90o).

2 Solución

Siguiendo la figura podemos definir los vectores asociados a las cuerdas


  \begin{array}{c}
    \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP}\\ \\
    \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OP}
  \end{array}

De la figura podemos observar que se cumple


  \begin{array}{l}
    \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{BO} \\ \\
    |\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{BO}| = R\\ \\
    |\overrightarrow{OP}| = R
  \end{array}

Calculamos el producto escalar de los vectores definidos por la cuerdas


  \begin{array}{ll}
  \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}& =
  (\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OP})\\
  &=\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}+
  \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BO}
  \end{array}

El primer y el último término se anulan pues \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{BO} y el producto escalar es conmutativo. Queda entonces


  \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=
  \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}=
  -|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{OP}|^2 = -R^2 + R^2 = 0.

Con lo cual queda demostrado que las cuerdas son perpendiculares.

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