Enunciado Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los
vectores
O
A
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}
O
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OB}}}
O
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OC}}}
O
(
1
,
0
,
2
)
{\displaystyle O(1,0,2)}
A
(
3
,
2
,
4
)
{\displaystyle A(3,2,4)}
B
(
2
,
6
,
8
)
{\displaystyle B(2,6,8)}
C
(
2
,
−
3
,
1
)
{\displaystyle C(2,-3,1)}
Solución El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del
paralelepípedo que definen. Entonces
V
=
O
C
→
⋅
(
O
A
→
×
O
B
→
)
{\displaystyle V={\overrightarrow {OC}}\cdot ({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})}
Las componentes cartesianas de los vectores son
O
A
→
=
2
ı
→
+
2
ȷ
→
+
2
k
→
O
B
→
=
ı
→
+
6
ȷ
→
+
6
k
→
O
C
→
=
ı
→
−
3
ȷ
→
−
k
→
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OB}}={\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OC}}={\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\end{array}}}
El producto mixto vale
V
=
|
1
−
3
−
1
2
2
2
1
6
6
|
=
20
m
3
{\displaystyle V=\left|{\begin{array}{ccc}1&-3&-1\\2&2&2\\1&6&6\end{array}}\right|=20\,\mathrm {m^{3}} }
