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Volumen de un paralelepípedo (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1) (unidades medidas en metros).

2 Solución

El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que definen. Entonces


  V = \overrightarrow{OC}\cdot(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})

Las componentes cartesianas de los vectores son


  \begin{array}{l}
    \overrightarrow{OA} = 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\\
    \overrightarrow{OB} = \vec{\imath}+6\vec{\jmath}+6\vec{k}\\
    \overrightarrow{OC} = \vec{\imath}-3\vec{\jmath}-\vec{k}
 
  \end{array}

El producto mixto vale


  V = \left|
    \begin{array}{ccc}
      1 & -3&-1\\
      2 & 2 & 2\\
      1 & 6 & 6
   \end{array}
  \right| = 20\,\mathrm{m^3}

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