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Problemas de dinámica de un sistema de partículas F1-GIC

De Laplace

Contenido

1 Problemas del boletín

1.1 Centro de masas de sistemas continuos

Calcula por integración la posición del centro de masas de estos dos sistemas

  1. Una barra homogénea delgada de longitud h y masa M.
  2. Una barra homogénea delgada en forma de semicírculo de radio a y masa M.

Solución

1.2 Bloque deslizando sobre una cuña apoyada en una balanza

Un bloque de masa m1 se desliza sin rozamiento sobre una cuña de masa m2 que forma un ángulo β con la horizontal. El conjunto está sobre una balanza de muelle. El plato de la balanza permanece en reposo durante toda la experiencia.

  1. Determina la aceleración de la masa m1 al desplazarse sobre la cuña.
  2. Calcula la aceleración del cento de masas del sistema cuña-masa.
  3. ¿Cuál es la lectura en la balanza mientras cae la masa?


1.3 Dos partículas unidas por un oscilador armónico

Supongamos dos partículas de la misma masa m unidas por un resorte de constante k y longitud natural nula. Inicialmente ambas masas se encuentran en el mismo punto; y se le comunica a la partícula 2 una velocidad v0 alejándola de la primera, mientras que la partícula 1 se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuál es el movimiento subsiguiente de ambas partículas?

1.4 Momento cinético de una barra

Una barra homogénea de masa m y longitud L gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular uniforme \vec{\omega}.

  1. Calcula el momento angular de la barra respecto a su punto central.
  2. Ahora el eje de giro pasa por uno de sus extremos. Calcula el momento angular de la barra en este caso, respecto a un punto del eje de giro.
  3. En la situación anterior, la longitud de la barra se multiplica por dos, mientras que su masa permanece constante. ¿Cómo cambia la velocidad angular? ¿Y si se divide por dos?

1.5 Polea pesada con dos masas

Una máquina de Atwood consiste en una polea de masa M y radio R de la que cuelgan dos masas m1 y m2, una a cada lado. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

  1. Suponiendo que las dos masas parten del reposo, determina sus aceleraciones, la velocidad angular con que rota la polea y la tensión de la cuerda a cada lado de la polea.
  2. Resuelve el mismo problema suponiendo que hay un momento de rozamiento sobre la polea constante e igual a Mr.
  3. Obtén los valores numéricos de las soluciones para los datos m_1=1.50\,\mathrm{kg}, m_2 = 2.00\,\mathrm{kg}, M=1.00\,\mathrm{kg}, R=30.0\,\mathrm{cm} M_r = 2.00\,\mathrm{N\cdot m}.
Archivo:Atwood-real.png

1.6 Volante de inercia

Un volante de inercia es un gran cilindro en rotación que puede usarse para almacenar energía. Estima la energía cinética que puede almacenar un volante de inercia de masa M=80.0\,\mathrm{t} y radio R=10.0\,\mathrm{m}. Supón que el volante puede girar sin romperse a una velocidad angular de 100 rpm. ¿Cuánto tiempo podría funcionar un horno microondas de 3.00\,\mathrm{kW} de potencia con la energía almacenada en el volante?

1.7 Colisiones de dos partículas

Una partícula de masa M se encuentra en reposo. Otra partícula de masa m impacta con ella con una velocidad v. Después del choque las dos partículas se mueven en la misma dirección en la que se movía la partÍcula m.

  1. Encuentra la expresión de la velocidad de cada una de las partículas en función de sus masas y de v si el choque es perfectamente elástico.
  2. Calcula la velocidad si el choque es completamente inelástico. ¿Cuánta energía cinética se pierde en el choque?
  3. ¿Qué ocurre si M\gg m ? ¿Y si M\ll m ?


   

2 Otros problemas

2.1 Cuatro partículas en un cuadrado

Se tienen 4 masas que ocupan los vértices de un cuadrado de lado a=1\,\mathrm{m}. Calcula la posición del centro de masas del sistema en cada uno de los casos siguientes

  1. m_1=m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  2. m_1=m_2=2\,\mathrm{kg}, m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  3. m_1=m_4=2\,\mathrm{kg}, m_2=m_3=1\,\mathrm{kg}.
  4. m_1=100\,\mathrm{kg}, m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.

2.2 Ejemplo de un sistema de partículas

Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

i mi \mathbf{r}_i \mathbf{v}_i
1 5 \mathbf{0} \mathbf{0}
2 4 3\mathbf{i} 3\mathbf{j}
3 3 4\mathbf{j} -4\mathbf{i}

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante k = 30N / m y longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema. Para el instante indicado:

  1. Determina la aceleración de cada partícula.
  2. Calcula la posición, velocidad y aceleración del CM.
  3. Calcula el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  4. Halla la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  5. Calcula las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

2.3 Dos partículas unidas por una barra

Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial v0 perpendicular a la línea de la barra. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?


2.4 Barra oscilando respecto a uno de sus extremos

Una barra homogénea de longitud L y masa M cuelga por uno de sus extremos de modo que se encuentra en equilibio en posición vertical. Analiza el movimiento de la barra si se separa de la vertical un ángulo θ0 pequeño.

2.5 Barra girando

La barra de la figura puede girar sobre su extremo inferior O. La barra es homogénea, de lonigtud L y masa M. En el instante inicial se encuentra en posición vertical (θ(0) = π / 2). En ese instante empieza a moverse de modo que el extremo A tiene una velocidad instantánea v_0\,\vec{\imath}.

  1. Calcula la velocidad angular de la barra en el instante inicial.
  2. Si I es el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular al plano OXY y que pasa por el punto O, encuentra la ecuación diferencial que describe el movimiento de la barra.
  3. Encuentra la expresión que da la velocidad angular con la que gira la barra en función del ángulo θ.


2.6 Polea con masa colgando y freno

El disco de la figura, de radio R y masa M, puede rotar sin rozamiento alrededor de un eje perpendicular al plano del papel y que pasa por O. La masa m cuelga de una cuerda vertical, inextensible y sin masa, de modo que su altura respecto del suelo H coincide con la del borde inferior del disco. En el punto A, un freno ejerce una fuerza de rozamiento sobre el disco de módulo FR. Todo el sistema está sometido a la fuerza de la gravedad con la dirección que se indica en la figura. El momento de inercia de un disco respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro es I = MR2 / 2.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco y de la masa, cuando el sistema está en equilibrio estático.
  2. ¿Cuánto valen los módulos de todas las fuerzas que actúan sobre el disco en situación de equilibrio estático?
  3. Liberamos el freno y la masa m cae con velocidad siempre vertical. Calcula la aceleración angular del disco.
  4. Calcula el módulo de la velocidad de la masa cuando impacta en el suelo y la velocidad angular de rotación del disco en ese instante.

2.7 Cilindro desenrrollándose en cuerda vertical

Un disco homogéneo de masa m y radio R se desenrolla bajo la acción de la gravedad sobre una cuerda vertical, como se indica en la figura, de forma que la velocidad del punto de contacto del disco con la cuerda es siempre nula. La cuerda se mantiene siempre vertical. El punto O al que está atada la cuerda es un punto fijo.

  1. Escribe el vector de posición, velocidad y aceleración del centro del disco. ¿Cuál es la relación entre la velocidad del centro del disco y su velocidad de rotación?
  2. En el instante inicial el disco está en reposo con x(0) = 0. Calcula la velocidad del centro del disco en función de su posición.
  3. Calcula la fuerza neta que actúa sobre el disco y la tensión de la cuerda.

2.8 Barra con muelle vertical y masa colgando

Una barra homogénea, de masa m y longitud 2L, está articulada en el origen de coordenadas en su punto medio, de modo que ese punto permanece fijo. De su extremo izquierda cuelga una masa m, conectada a la barra por un hilo inextensible y sin masa. El hilo se mantiene siempre vertical. El extremo derecho está conectado a un muelle ideal de constante elástica k y longitud natural nula. El otro extremo del muelle se ancla en un pasador C, de modo que el muelle siempre permanece vertical. La gravedad actúa hacia abajo, como se indica en la figura.

  1. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la barra.
  2. Determina las posiciones de equilibrio de la barra, así como la expresión de la fuerza vincular que actúa sobre ella en cada una de las posiciones.
  3. Supongamos que sustitiumos la masa en el extremo A por una tuerca apretada en O, que ejerce un momento de fuerzas sobre la barra \vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}. ¿Cuánto vale θ en este caso en situación de equilibrio?
  4. Partiendo de la situación descrita en 3, con la barra en reposo y con θ = π / 4, aflojamos completa y rápidamente la tuerca. ¿Cuánto vale la energía cinética de la barra y la rapidez del punto B cuándo este está sobre el eje OX? (Dato: IO = mL2 / 3)

2.9 Propulsión a reacción

Un cohete a reacción se impulsa en el espacio emitiendo gases a cierta velocidad en el sentido opuesto a su propio movimiento. Sea un cohete que tiene una masa M0 y lleva una carga inicial de combustible m0. Este combustible es expulsado a ritmo constante \dot{m} con una velocidad constante respecto a la nave, v0. Si la nave parte del reposo, ¿cuál será su velocidad cuando se le agote el combustible?

2.10 Colisión de dos péndulos

Se tienen dos péndulos ideales con barras rígidas de la misma longitud L y masa nula, que cuelgan del mismo punto O. Las masas sujetas a los extremos de los hilos son respectivamente m1 y m2. La masa m1 es elevada a una altura h1 y se suelta desde el reposo, colisionando con la masa m2 que se encuentra en el punto más bajo.

Suponiendo que la colisión es elástica, determina la altura a la que sube cada masa tras la colisión. Distingue los casos m1 > m2, m1 = m2 y m1 < m2.

¿Qué condiciones deben cumplirse para conseguir que la masa m2 gire y llegue hasta arriba del todo?

2.11 Granada en movimiento vertical

Una granada de masa M se lanza verticalmente desde el suelo con una velocidad de módulo v0. Se mueve sometida únicamente a la acción de la gravedad. En el punto más alto de la trayectoria la granada explota en dos trozos con la misma masa. Justo después de la explosión uno de los trozos se mueve verticalmente hacia arriba con una velocidad de módulo v1. Determina la velocidad en ese instante del otro trozo.

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