Aro rodando sin deslizar sobre un plano inclinado (GIC)

Enunciado

Un aro rueda por un plano inclinado con ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} . Se suelta desde una altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} y desde el reposo. El aro rueda sin deslizar por el plano inclinado bajo la acción de la gravedad.

1. Calcula la velocidad del aro al llegar al final de la rampa con argumentos energéticos y aplicando el TCM y el TMA.
2. Si soltamos una alianza de boda, una lata de refresco vacía, una pila AAA, una canica y un ordenador portátil, ¿en que orden llegan al final de la rampa? (En el caso del ordenador se desprecia el efecto del rozamiento)

Solución

Resolución usando la conservación de energía mecánica

Energía cinética del aro

La energía cinética del aro se compone de una parte de traslación del centro de masas y una parte de rotación alrededor del centro de masas.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 + \dfrac{1}{2}I_G|\vec{\omega}|^2. }

Aquí, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_G } es el momento de inercia del aro respecto a un eje perpendicular a él que pase por su centro de masas, localizado por simetría en su centro. La ligadura de rodadura sin deslizamiento quiere decir que el punto del aro en contacto con el plano inclinado tiene velocidad nular. Esto impone una ligadura entre la velocidad de rotación y la velocidad del centro del aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = |\vec{\omega}|R. }

Por ello, la energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m\,\left(1 + \dfrac{I_G}{mR^2}\right)\,|\vec{v}|^2. }

Definimos el parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = I_G/mR^2. }

De este modo, la energía cinética se escribe

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m\,\left(1 + \lambda\right)\,|\vec{v}|^2. }

Este parámetro nos va a permitir aplicar la solución del problema a distintos sólidos rígidos (aro, disco, esfera, etc)

Fuerzas que actúan sobre el aro

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el aro durante su movimiento. El peso es conservativo, por lo que se le puede asignar una energía potencial. La fuerza normal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } actúa para que el aro no atraviese el plano inclinado. La fuerza de rozamiento se encarga de que el aro no deslice en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } . Por eso apunta hacia arriba. Si no hubiese rozamiento, el aro deslizaría al soltarlo desde arriba y la velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } apuntaría hacia abajo. Para oponerse a ese deslizamiento la fuerza de rozamiento apunta hacia arriba. La potencia aportada al aro tanto por la fuerza normal como la de rozamiento es

$P_{N}={\vec {N}}\cdot {\vec {v}}_{D}=0,\qquad P_{R}={\vec {F}}_{R}\cdot {\vec {v}}_{D}=0.$

Ambas se anulan porque Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_D=\vec{0} } . Así pues, estas dos fuerzas no hacen trabajo y la energía mecánica se conserva.

Balance de energía mecánica

Cuando el centro del aro está en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } , el aro está en reposo. Su energía mecánica en ese instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_m^A = T_A + U_A = U_A. }

Cuando el centro del aro está en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} su energía mecánica es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_m^B = T_B + U_B = \dfrac{1}{2}m\,\left(1 + \lambda\right)\,|\vec{v}_B|^2 + U_B. }

Igualando las energía mecánicas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } y en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_B|^2 = \dfrac{2}{m(1+ \lambda)}\,(U_A - U_B). }

La altura que desciende el aro entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } es la altura del plano inclinado, es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_A - U_B = mgh. }

Por tanto, la rapidez del centro del aro en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_B| = \dfrac{\sqrt{2gh}}{1+\lambda}. }

Es interesante destacar que la rapidez del centro de masas en el punto final no depende ni de la masa ni del radio del aro.

Resolución usando los teoremas fundamentales

Vamos a resolver el problema aplicando el Teorema del centro de masas (TCM) y el Teorema del momento angular (TMA).

TCM

El TCM dice

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}_G = \vec{P}_m + \vec{N} + \vec{F}_R. }

Proyectando los vectores en los ejes de la figura tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} m\vec{a}_G = ma\,\vec{\imath}, &\\ \vec{P}_m = mg\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} - mg\cos\beta\,\vec{\jmath}, & (G)\\ \vec{N} = N\,\vec{\jmath}, & (N\geq 0) \qquad (D)\\ \vec{F}_R = f\,\vec{\imath}. & (D) \end{array} }

Hemos puesto a la derecha los puntos en los que se aplican las fuerzas. La condición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N\geq 0 } aparece porque la fuerza normal sólo puede apuntar hacia arriba, al ser el vínculo impuesto por el plano inclinado unilateral. La componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f } de la fuerza de rozamiento puede ser positiva, negativa o nula. Aunque en este caso esperamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f<0 } , pues la fuerza de rozamiento debe apuntar hacia arriba.

De este modo, el TCM proporciona dos ecuaciones, una en cada dirección de los ejes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} X) & \to & ma = mg\,\mathrm{sen}\,\beta + f, & (1)\\ Y) & \to & 0 = -mg\cos\beta + N. & (2) \end{array} }

TMA

Aplicamos el TMA en el centro de masas del aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_G^{\,\mathrm{ext}}. }

El momento angular del aro en su centro de masas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = I_G\,\vec{\omega}. }

Teniendo en cuenta la elección de los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ } , la ligadura de rodar sin deslizar impone que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega} = -\dfrac{v}{R}\,\vec{k}. }

Aquí, tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_G = v\,\vec{\imath} } . Si la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v>0 } , el vector de rotación debe apuntar hacia dentro del dibujo, es decir, en sentido contrario al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z } . De ahí el signo menos en la expresión anterior. Con esto, el momento angular es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = -\dfrac{I_G}{R}\,v\,\vec{k} = -\lambda m R v\,\vec{k}. }

La derivada respecto del tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = -\lambda m R \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{k} = -\lambda m R a\,\vec{k}.. }

El peso se aplica en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G } , por lo que no crea momento de fuerza respecto de ese punto. La fuerza normal tampoco, pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} está en su recta soporte Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\overrightarrow{GD}\times\vec{N}=\vec{0})} . Así pues, sólo la fuerza de rozamiento crea momento de fuerza en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_G^{\,\mathrm{ext}} = \overrightarrow{GD}\times\vec{F}_R = (-R\,\vec{\jmath})\times (f\,\vec{\imath}) = fR\,\vec{k}. }

De este modo, el TMA nos da una ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z) \quad \to \quad -\lambda m R a = fR. \qquad (3) }

Solución de las ecuaciones

Las incógnitas son tres: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a, N, f\} } . La fuerza de rozamiento es desconocida pues el régimen de rozamiento es estático. La fuerza de rozamiento vale lo necesario para que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} del aro no deslice sobre el plano inclinado. Despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} de la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3) } y sustituyendo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1) }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \dfrac{g\,\mathrm{sen}\,\beta}{1+\lambda} = a_0. }

El resultado es que el centro del aro se mueve con M.R.U.A. con aceleración constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_0} definida en la expresión anterior. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x(0) = 0, v(0) = 0) } , tenemos, para el movimiento del centro del aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = a_0t, \qquad x = \dfrac{1}{2}a_0t^2. }

Las componentes de las fuerzas vinculares son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N = mg\cos\beta, \qquad f = -\lambda m a_0 = -\dfrac{\lambda}{1+ \lambda}\,mg\,\mathrm{sen}\,\beta. }

El signo negativo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} indica que, efectivamente, la fuerza de rozamiento apunta hacia arriba

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R = -\dfrac{\lambda}{1+ \lambda}\,mg\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath}. }

Rapidez del centro de masas en B

El instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_B } en el que el centro del aro llega al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } se obtiene imponiendo que la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x } del centro sea igual a la longitud del plano inclinado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t_B) = \dfrac{h}{\mathrm{sen}\,\beta} \Longrightarrow t_B = \sqrt{\dfrac{2h}{a_0\,\mathrm{sen}\,\beta}} = \dfrac{1}{\mathrm{sen}\,\beta}\,\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\,\sqrt{1+\lambda}. }

Sustituyendo en la expresión de la velocidad del centro del aro tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B = a_0 t_B = \dfrac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{1+\lambda}}. }

Observamos de nuevo que ni el tiempo que tarda en llegar a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } ni la rapidez del centro en ese punto dependen de la masa o el radio del aro.

Comparación entre diferentes sólidos

El análisis que hemos hecho es válido para un aro, un disco, una esfera maciza o hueca y una cáscara cilíndrica. Podemos usar estos sólidos para modelar los objetos propuestos en el enunciado. La diferencia entre ellos se específica en el valor del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } . Podemos hacer una tabla con estos valores

Objeto	Cuerpo	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B/\sqrt{2gh}}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_B / \sqrt{2h/g\,\mathrm{sen}^2\beta}}
Alianza	Aro	1	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 0.71}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2} = 1.41}
Lata	Cáscara cilíndrica con tapas	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \approx 0.9 }	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.73}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1.38}
Pila	Cilindro	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{1}{2} = 0.5 }	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2/3} = 0.82}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{3/2} = 1.22}
Canica	Esfera maciza	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{2}{5} = 0.4 }	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{7/5} = 0.85}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{5/7} = 1.18}
Ordenador (sin roz)	Partícula puntual	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 }	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}

El valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} para la lata se explica porque la modelamos con una cáscara cilíndrica (que tendría un valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=1 } ) con dos discos añadidos para tener en cuenta las tapas. Eso hace que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } sea un poquito menor que 1. Para el ordenador, se modela como una partícula puntual, que no puede rotar. Por tanto, el momento de inercia sería nulo, lo que corresponde a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=0 } .

Vemos que en ausencia de rozamiento el que llega primero es el ordenador. Eso se debe a que, al no tener rotación, la energía potencial disponible en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } se transforma íntegramente en energía cinética de traslación. Para los sólidos en los que si hay rotación, parte de la energía potencial se convierte en energía cinética de rotación, por lo que queda menos energía para la parte de traslación. Así, el objeto que llega antes es el que tiene un momento de inercia menor, es decir, un valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } mas pequeño. Esto ilustra la idea de que el momento de inercia es una medida de la inercia del sólido frente a rotaciones.