Bloque deslizando sobre una cuña apoyada en una balanza
Enunciado
Un bloque de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} se desliza sin rozamiento sobre una cuña de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} que forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} con la horizontal. El conjunto está sobre una balanza de muelle. El plato de la balanza permanece en reposo durante toda la experiencia.
- Determina la aceleración de la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} al desplazarse sobre la cuña.
- Calcula la aceleración del cento de masas del sistema cuña-masa.
- ¿Cuál es la lectura en la balanza mientras cae la masa?
Solución
Nos dice el enunciado que el plato de la balanza no su mueve durante todo el proceso, es decir, se comporta como si fuese el suelo fijo. Para simplificar vamos a sustituir la balanza por un suelo y al final recuperaremos la balanza.
Aceleración del bloque
La imagen de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} , a saber, el peso y la fuerza vincular de la cuña (el contacto es liso, por lo que esta fuera es perpendicular a la cuña). La Segunda Ley de Newton aplicada al bloque da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\vec{a}_1 = \vec{P}_1 + \vec{F}_{2\to1} }
La aceleración debe ser paralela a la superficie de la cuña, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\vec{a}_1 = m_1a_1\,(\cos\beta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}). }
Para las fuerzas tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_1 = - m_1g\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{F}_{2\to1} = N_2\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + N_2\cos\beta\,\vec{\jmath}. \end{array} }
La Segunda Ley nos da dos ecuaciones escalares, una por cada componente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} m_1a_1\cos\beta & = & N_2\,\mathrm{sen}\,\beta, & \qquad (1)\\ &&&\\ -m_1a_1\,\mathrm{sen}\,\beta & = & -m_1g + N_2\cos\beta. & \qquad (2) \end{array} }
Multiplicando la ecuación (1) por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\beta} , la ecuación (2) por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\mathrm{sen}\,\beta } y sumando obtenemos
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La aceleración de la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1 = g\,\mathrm{sen}\,\beta\,(\cos\beta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}). }
Aceleración del centro de masas del sistema cuña-bloque
La cuña permanece en reposo, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=\vec{0}} . Entonces la aceleración del centro de masas puede calcularse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = m_1\vec{a}_1 + m_2\vec{a}_2 = m_1\vec{a}_1 \Longrightarrow \vec{a}_{CM} = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{a}_1 = \dfrac{m_1g\mathrm{sen}\,\beta}{m_1+m_2}\,(\cos\beta\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}). }
Lectura de la balanza
Aplicamos la Segunda Ley de Newton para sistemas al conjunto cuña+bloque.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = \vec{F}_{neta}^{ext}. }
Las fuerzas externas son el peso de las dos masas y la fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña. Las fuerzas entre la cuña y el bloque no aparecen pues son fuerzas internas del sistema cuña-bloque.
Hemos visto en el apartado anterior que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{CM}} es paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1} . Como los pesos sólo tienen componente vertical, es necesario que la fuerza que ejerce el suelo tenga una componente horizontal, para dar cuenta de la componente horizontal de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{CM}} . La figura de la derecha indica como son las fuerzas externas.
La Segunda Ley queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{F}_s. }
De aquí podemos despejar la fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_s = (m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} - \vec{P}_1 - \vec{P}_2 = m_1g\,\mathrm{sen}\,\beta\cos\beta\,\vec{\imath} + (m_1\cos^2\beta+m_2)g\,\vec{\jmath}. }
Si en vez del suelo es el plato de la balanza, la lectura de ésta es el módulo de la componente vertical de esta fuerza, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_{sy}| = (m_1\cos^2\beta+m_2)g. }
Vemos que no es, en general, el peso de las dos masas. Cuando hay movimiento la normal no es igual al peso, en general. Hay dos casos límite interesantes. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=0} el bloque no se mueve, la situación es estática y la lectura de la balanza debe ser el peso de las masas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m_1+m_2)g} . Vemos que esto es lo que ocurre. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=\pi/2} , el bloque no se apoya sobre la cuña, por lo que la balanza no debe sentir el efecto de su masa y debe medir sólo el peso de la cuña: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2g} . Vemos que esto es también lo que sucede.
