Partículas en colisión inelástica unidireccional

Enunciado

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} colisiona con otra partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} . El coeficiente de restitución del choque es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_R} .

1. Determina la velocidad de las dos partículas después del choque.
2. Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de restitución. ¿Cómo es la variación de energía cinética en los valores límites del coeficiente de restitución?

Solución

Escogemos el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} en la dirección que coincide con la velocidad de la partícula que se mueve antes de la colisión. Antes de la colisión tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{1i} = v_0\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_{2i}=\vec{0}. }

Después de la colisión las velocidades de las partículas son

${\vec {v}}_{1f}=v_{1f}\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {v}}_{2f}=v_{2f}\,{\vec {\imath }}.$

En toda colisión se conserva la cantidad de movimiento, pues las fuerzas externas no tienen tiempo de cambiarla debido a que ocurre muy rápido. Como las partículas tienen la misma masa $m$ tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {P}}_{i}=m{\vec {v}}_{1i}+m{\vec {v}}_{2i}=mv_{0}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {P}}_{f}=m{\vec {v}}_{1f}+m{\vec {v}}_{2f}=m(v_{1f}+v_{2f}),{\vec {\imath }}.\\\end{array}}\right|\Longrightarrow {\vec {P}}_{i}={\vec {P}}_{f}\Longrightarrow v_{1f}+v_{2f}=v_{0}.\qquad (1)$

Necesitamos otra ecuación. Esta la proporciona el coeficiente de restitución. Su definición es

$C_{R}=-{\dfrac {v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}}={\dfrac {v_{2f}-v_{1f}}{v_{0}}}.$

Hemos usado que en este problema $v_{1i}=v_{0}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{2i}=0} . Esto nos da la otra ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{2f} - v_{1f} = C_Rv_0. \qquad (2) }

Despejando obtenemos

$v_{1f}=v_{0}\,{\dfrac {1-C_{R}}{2}},\qquad v_{2f}=v_{0}\,{\dfrac {1+C_{R}}{v_{0}}}.$

Podemos evaluar la pérdida de energía cinética que sufre el sistema de dos partículas

${\begin{array}{ll}\Delta T=&T_{f}-T_{i}={\dfrac {C_{R}^{2}-1}{2}}T_{i}.\\\\&T_{i}={\dfrac {1}{2}}mv_{0}^{2},\\\\&T_{f}={\dfrac {1+C_{R}^{2}}{2}}T_{i}.\end{array}}$

Los casos extremos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_R=1}

Esto corresponde a una colisión elástica. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{1f} = 0, \qquad v_{2f} = v_0\,\qquad \Delta T_f = 0. }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_R=0}

Esto corresponde a una colisión completamente inelástica (plástica). Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{1f} = v_{2f} = v_0/2\,\qquad \Delta T_f = -T_i/2. }