Partículas en colisión inelástica unidireccional

Enunciado

Una partícula de masa $m$ y velocidad ${\vec {v}}_{0}$ colisiona con otra partícula de masa $m$ que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de ${\vec {v}}_{0}$. El coeficiente de restitución del choque es $C_{R}$.

1. Determina la velocidad de las dos partículas después del choque.
2. Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de restitución. ¿Cómo es la variación de energía cinética en los valores límites del coeficiente de restitución?

Solución

Escogemos el eje $X$ en la dirección que coincide con la velocidad de la partícula que se mueve antes de la colisión. Antes de la colisión tenemos

${\vec {v}}_{1i}=v_{0}\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {v}}_{2i}={\vec {0}}.$

Después de la colisión las velocidades de las partículas son

${\vec {v}}_{1f}=v_{1f}\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {v}}_{2f}=v_{2f}\,{\vec {\imath }}.$

En toda colisión se conserva la cantidad de movimiento, pues las fuerzas externas no tienen tiempo de cambiarla debido a que ocurre muy rápido. Como las partículas tienen la misma masa $m$ tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {P}}_{i}=m{\vec {v}}_{1i}+m{\vec {v}}_{2i}=mv_{0}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {P}}_{f}=m{\vec {v}}_{1f}+m{\vec {v}}_{2f}=m(v_{1f}+v_{2f}),{\vec {\imath }}.\\\end{array}}\right|\Longrightarrow {\vec {P}}_{i}={\vec {P}}_{f}\Longrightarrow v_{1f}+v_{2f}=v_{0}.\qquad (1)$

Necesitamos otra ecuación. Esta la proporciona el coeficiente de restitución. Su definición es

$C_{R}=-{\dfrac {v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}}={\dfrac {v_{2f}-v_{1f}}{v_{0}}}.$

Hemos usado que en este problema $v_{1i}=v_{0}$ y $v_{2i}=0$. Esto nos da la otra ecuación

$v_{2f}-v_{1f}=C_{R}v_{0}.\qquad (2)$

Despejando obtenemos

$v_{1f}=v_{0}\,{\dfrac {1-C_{R}}{2}},\qquad v_{2f}=v_{0}\,{\dfrac {1+C_{R}}{v_{0}}}.$

Podemos evaluar la pérdida de energía cinética que sufre el sistema de dos partículas

${\begin{array}{ll}\Delta T=&T_{f}-T_{i}={\dfrac {C_{R}^{2}-1}{2}}T_{i}.\\\\&T_{i}={\dfrac {1}{2}}mv_{0}^{2},\\\\&T_{f}={\dfrac {1+C_{R}^{2}}{2}}T_{i}.\end{array}}$

Los casos extremos son

$C_{R}=1$

Esto corresponde a una colisión elástica. Tenemos

$v_{1f}=0,\qquad v_{2f}=v_{0}\,\qquad \Delta T_{f}=0.$

$C_{R}=0$

Esto corresponde a una colisión completamente inelástica (plástica). Tenemos

$v_{1f}=v_{2f}=v_{0}/2\,\qquad \Delta T_{f}=-T_{i}/2.$