Disco con muelle enganchado en su centro, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Un disco de masa $m$ y radio $R$ rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa. El centro del disco está conectado al punto $A$ con un muelle de constante elástica $k=mg/R$ y longitud natural nula. Además, actúa sobre el disco un par de fuerzas ${\vec {\tau }}=-\tau _{0}\,{\vec {k}}$, con $\tau _{0}>0$. En el instante inicial el disco estaba en reposo y su centro se encontraba sobre el eje $Y$.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
2. Calcula la aceleración del centro del disco.
3. Si $\tau _{0}=mgR$, ¿para que valor de $x$ el disco empieza a deslizar?

Solución

Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra las fuerzas y pares de fuerzas que actúan sobre el disco: el par aplicado, su peso, la fuerza elástica del muelle, la fuerza vincular normal del suelo y la fuerza de rozamiento, también ejercida por el suelo. Estas fuerzas se pueden escribir así

${\begin{array}{lr}{\vec {P}}=-mg\,{\vec {\jmath }},&(G)\\{\vec {F}}_{k}=-k{\overrightarrow {AG}}=-kx\,{\vec {\imath }},&(G)\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\jmath }},&(B)\\{\vec {F}}_{R}=f\,{\vec {\imath }},&(B)\\{\vec {\tau }}=-\tau _{0}\,{\vec {k}}.&\end{array}}$

Las letras indican los puntos en los que se aplican las fuerzas. Recordemos que un par de fuerzas se aplica a todo el sólido, pues representa la acción de un sistema de fuerzas con resultante nula. Una forma de aplicar este par sería actuar con un destornillador sobre el centro del disco.

Aceleración del disco

Para resolver los problemas que involucran a sólidos rígidos hay que aplicar los dos teoremas fundamentales: El Teorema del Centro de Masas (TCM) y el Teorema del Momento Cinético (TMC).

Teorema del Centro de Masas

La aplicación de este teorema nos da una ecuación vectorial

$m{\vec {a}}_{G}={\vec {P}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}.$

En el TCM no intervine el par aplicado. Esto se debe a que este par, como se ha dicho antes, representa la acción de un sistema de fuerzas de resultante nula.

Dado que el centro del disco hace un movimiento rectilíneo su aceleración es

${\vec {a}}_{G}=a_{G}\,{\vec {\imath }}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}.$

Por tanto, el TCM nos da dos ecuaciones escalares

${\begin{array}{lr}ma_{G}=-kx+f,&(1)\\0=-mg+N.&(2)\end{array}}$

Teorema del Momento Cinético

Aplicamos el TMC en el centro de masas del disco

${\dot {\vec {L}}}_{G}={\vec {M}}_{G}={\overrightarrow {GB}}\times {\vec {F}}_{R}+{\vec {\tau }}.$

El peso y la fuerza elástica no crean momento pues se aplican en $G$. La fuerza normal tampoco pues es paralela a ${\overrightarrow {GB}}$. Es aquí donde hay que incluir el par externo.

El momento cinético del disco respecto a su centro es

${\vec {L}}_{G}=I\,{\vec {\omega }}.$

Llamamos $I$ al momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro. Debido a que el disco rueda sin deslizar, la velocidad de rotación y la velocidad del centro del disco están relacionadas

${\vec {v}}^{\,B}=0\Longrightarrow {\vec {\omega }}=-(v_{G}/R)\,{\vec {k}}.$

El signo menos puede entenderse por el hecho de que si el centro del disco se desplaza hacia la derecha ($v_{G}>0$) el vector de rotación debe apuntar hacia dentro (sentido negativo del eje $OZ$)

Entonces el momento cinético del disco y su derivada temporal son

${\begin{array}{l}{\vec {L}}_{G}=-I{\dfrac {v_{G}}{R}}\,{\vec {k}},\\\\{\dot {\vec {L}}}_{G}=-I{\dfrac {a_{G}}{R}}\,{\vec {k}},\\\end{array}}$

El producto vectorial del TMC es

${\overrightarrow {GB}}\times {\vec {F}}_{R}=(-R\,{\vec {\jmath }})\times (f\,{\vec {\imath }})=fR\,{\vec {k}}.$

La ecuación que obtenemos del TMC es

$-I\,{\dfrac {a_{G}}{R}}=fR-\tau _{0}.\qquad (3)$

Despejando $f$ en (3) y sustituyendo en (1) obtenemos la aceleración del centro del disco

$a_{G}=-{\dfrac {k}{m+I/R^{2}}}\,x+{\dfrac {\tau _{0}R}{mR^{2}+I}}.$

Tipo de movimiento

Aunque esto no se pedía en el problema, podemos ver que tipo de movimiento describe el centro del disco. Escribiendo la aceleración como $a_{G}={\ddot {x}}$ tenemos

${\ddot {x}}=-{\dfrac {k}{m+I/R^{2}}}\,x+{\dfrac {\tau _{0}R}{mR^{2}+I}}.$

Es decir, el movimiento descrito por el centro del disco es un Movimiento Armónico Simple (MAS). Si usamos que el momento de inercia es $I=mR^{2}/2$ obtenemos

${\ddot {x}}=-{\dfrac {2k}{3m}}\,x+{\dfrac {2\tau _{0}}{3mR}}.$

Obtenemos la posición de equilibrio imponiendo que el centro del disco no se mueva

${\dot {x}}={\ddot {x}}=0\Longrightarrow x_{eq}={\dfrac {\tau _{0}}{kR}}.$

La frecuencia angular del movimiento se obtiene observando el factor que multiplica a $x$ en el lado derecho de la ecuación

$\omega ^{2}={\dfrac {2k}{3m}}\Longrightarrow \omega ={\sqrt {\dfrac {2k}{3m}}}.$

Y el período de oscilación es

$T={\dfrac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\dfrac {3m}{2k}}}$

Deslizamiento del disco

La fuerza de rozamiento impide que el disco deslice en el punto de contacto con el suelo. Sin embargo, para que pueda hacerlo, el módulo de esta fuerza de rozamiento no debe superar el valor máximo que puede alcanzar. Es decir, para que no haya deslizamiento debe cumplirse

$|{\vec {F}}_{R}|\leq \mu |{\vec {N}}|.$

Obtenemos las fuerzas necesarias de las ecuaciones (2) y (3)

${\begin{array}{l}{\vec {N}}=mg\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {F}}_{R}=\left({\dfrac {2\tau _{0}}{3R}}+{\dfrac {kx}{3}}\right)\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

La condición de no deslizamiento se traduce en

$\left|{\dfrac {2\tau _{0}}{3R}}+{\dfrac {kx}{3}}\right|\leq \mu mg.$

Con esto ya se considera el problema resuelto. Para afinar un poco mas, vamos a suponer que el disco se mueve siempre con $x\geq 0$. Entonces

$\left|{\dfrac {2\tau _{0}}{3R}}+{\dfrac {kx}{3}}\right|={\dfrac {2\tau _{0}}{3R}}+{\dfrac {kx}{3}},$

y la condición de no deslizamiento queda

$x\leq \mu \,{\dfrac {3mg}{k}}-{\dfrac {2\tau _{0}}{kR}}.$

Errores principales detectados en la corrección

1. El error más común es olvidarse de aplicar el TMC para resolver el problema. Cuando hay un sólido rígido hay que aplicar el TCM y el TMC.
2. Otro error común, relacionado con el anterior, es introducir el par aplicado en el TCM sumándolo a las fuerzas. Esto es un error muy grave. Para empezar, el par y las fuerzas tienen unidades distintas, por lo que no se pueden sumar. Y el par hay que aplicarlo en el TMC.