Disco con muelle: energía (Ene. 2020 G.I.C.)

Enunciado

Consideramos la misma configuración del problema anterior pero sin fuerza aplicada en el centro del disco ni momento aplicado. En el instante indicado en la figura se suelta el disco partiendo del reposo. Suponiendo que rueda sin deslizar, ¿cuánto vale la velocidad del centro del disco en el instante en que está sobre el eje $Y$?

Nota: El momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por su centro es $I=mR^{2}/2$.

Solución

La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas en esta situación. Si no hubiera rozamiento la fuerza elástica haría que el disco deslizara hacia la izquierda. Por tanto, el punto $D$ del disco se movería hacia la izquierda respecto del suelo. Para que esto no ocurra, el rozamiento produce una fuerza hacia la derecha.

La fuerza normal y de rozamiento actúan sobre el punto $D$ del disco. Pero este punto tiene velocidad nula, pues el disco rueda sin deslizar. Por tanto, no transmiten potencia al disco

${\vec {N}}\cdot {\vec {v}}_{D}=0,\qquad {\vec {F}}_{R}\cdot {\vec {v}}_{D}=0.$

Estas son las dos únicas fuerzas no conservativas en el problema. Como no realizan trabajo, la energía mecánica se conserva.

La energía cinética del disco es

$T={\dfrac {1}{2}}mv_{C}^{2}+{\dfrac {1}{2}}I\omega ^{2}.$

Como el disco rueda sin deslizar se cumple

$\omega =v_{C}/R.$

Por tanto la energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}\left(m+{\dfrac {I}{R^{2}}}\right)\,v_{C}^{2}.$

La energía potencial gravitatoria es constante, pues la altura del centro de masas del disco no cambia. La energía potencial elástica es

$U_{k}=kl^{2}/2,$

siendo $l$ la longitud el muelle. La Energía mecánica es

$E=T+U_{k}={\dfrac {1}{2}}\left(m+{\dfrac {I}{R^{2}}}\right)\,v_{C}^{2}+{\dfrac {1}{2}}kl^{2}.$

En la situación inicial tenemos

$\left.{\begin{array}{l}l=d,\\v_{C}=0\end{array}}\right\}\Longrightarrow E={\dfrac {1}{2}}kd^{2}.$

En el instante en que el centro del disco está sobre el eje $OY$ tenemos

$\left.{\begin{array}{l}l=0,\\v_{C}=v_{f}\end{array}}\right\}\Longrightarrow E={\dfrac {1}{2}}\left(m+{\dfrac {I}{R^{2}}}\right)\,v_{f}^{2}.$

Igualando los dos valores de la energía mecánica tenemos

$v_{f}={\sqrt {\dfrac {kd^{2}}{m+I/R^{2}}}}={\sqrt {\dfrac {2kd^{2}}{3m}}}$

Hemos utilizado el valor de $I$ proporcionado en el enunciado.