Ejemplo de un sistema de partículas

Enunciado

Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

$i$	$m_{i}\,$ (kg)	$\mathbf {r} _{i}$ (m)	$\mathbf {v} _{i}$ (m/s)
1	5	$\mathbf {0}$	$\mathbf {0}$
2	4	$3\mathbf {i}$	$3\mathbf {j}$
3	3	$4\mathbf {j}$	$-4\mathbf {i}$

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante $k=30\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema. Para el instante indicado:

1. Determina la aceleración de cada partícula.
2. Calcula la posición, velocidad y aceleración del CM.
3. Calcula el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
4. Halla la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
5. Calcula las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

Aceleraciones

La aceleración de cada partícula la hallamos dividiendo la fuerza que actúa sobre la partícula entre su masa

$\mathbf {a} _{i}={\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}$

Fuerza sobre cada partícula

La fuerza sobre una partícula situada en un punto B debida a un oscilador armónico cuyo otro extremo se encuentra en un punto A es

$\mathbf {F} _{B}=-k{\vec {AB}}=-k\left(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}\right)$

La fuerza sobre la partícula A, de acuerdo con la 3ª ley de Newton, es igual y de sentido contrario a esta.

En este caso, que cada partícula está sujeta a dos muelles, la fuerza sobre una de ella será la resultante de dos fuerzas como la anterior. Para la partícula 1, en el SI,

$\mathbf {F} _{1}=\mathbf {F} _{2\to 1}+\mathbf {F} _{3\to 1}=-k(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})-k(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3})=-30(-3\mathbf {i} -4\mathbf {j} )=90\mathbf {i} +120\mathbf {j}$

donde hemos tenido en cuenta que las dos constantes de los resortes son iguales a 30 N/m.

Operando del mismo modo para la partícula 2

$\mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1\to 2}+\mathbf {F} _{3\to 2}=-k(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-k(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3})=-30(3\mathbf {i} +(3\mathbf {i} -4\mathbf {j} ))=-180\mathbf {i} +120\mathbf {j}$

y para la partícula 3

$\mathbf {F} _{3}=\mathbf {F} _{1\to 3}+\mathbf {F} _{2\to 3}=-k(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1})-k(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2})=-30(4\mathbf {j} +(-3\mathbf {i} +4\mathbf {j} ))=90\mathbf {i} -240\mathbf {j}$

Por tratarse de fuerzas internas, la suma de ellas es nula

$\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\mathbf {F} _{3}=\mathbf {0} \,$

Aceleración de cada partícula

Dividiendo la fuerza sobre cada partícula por la masa de cada una obtenemos su aceleración:

$i$	$m_{i}\,$ (kg)	$\mathbf {F} _{i}$ (m)	$\mathbf {a} _{i}$ (m/s2)
1	5	$90\mathbf {i} +120\mathbf {j}$	$18\mathbf {i} +24\mathbf {j}$
2	4	$-180\mathbf {i} +120\mathbf {j}$	$-45\mathbf {i} +30\mathbf {j}$
3	3	$90\mathbf {i} -240\mathbf {j}$	$30\mathbf {i} -80\mathbf {j}$

Propiedades del CM

Posición del CM

La posición del centro de masas es la media ponderada (según la masa) de las posiciones de las partículas

$\mathbf {r} _{C}={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+m_{3}\mathbf {r} _{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}={\frac {5(\mathbf {0} )+4(3\mathbf {i} )+3(4\mathbf {j} )}{12}}=\mathbf {i} +\mathbf {j}$

Velocidad del CM

Del mismo modo, la velocidad del centro de masas es la media ponderada (según la masa) de las velocidades de las partículas

$\mathbf {v} _{C}={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+m_{3}\mathbf {v} _{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}={\frac {5(\mathbf {0} )+4(3\mathbf {j} )+3(-4\mathbf {i} )}{12}}=-\mathbf {i} +\mathbf {j}$

La cantidad que aparece en el numerador de esta fracción es la cantidad de movimiento total del sistema

$\mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}+\mathbf {p} _{3}=-12\mathbf {i} +\mathbf {j} \,$

Aceleración del CM

Siguiendo la misma regla, la aceleración del centro de masas es

$\mathbf {a} _{C}={\frac {m_{1}\mathbf {a} _{1}+m_{2}\mathbf {a} _{2}+m_{3}\mathbf {a} _{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$

la cantidad del numerador es la resultante de las fuerzas que actúan sobre las partículas. Puesto que en este sistema son todas fuerzas internas, esta resultante es nula

$\mathbf {a} _{C}={\frac {\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\mathbf {F} _{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}=\mathbf {0}$

Posiciones y velocidades relativas

Una vez que tenemos la posición y la velocidad del centro de masas podemos hallar las posiciones y velocidades de las partículas respecto al CM

$\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{C}\,$    $\mathbf {v} '_{i}=\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{C}\,$

y resultan los valores

$i$	$m_{i}\,$ (kg)	$\mathbf {r} '_{i}$ (m)	$\mathbf {v} '_{i}$ (m/s)
1	5	$-\mathbf {i} -\mathbf {j}$	$\mathbf {i} -\mathbf {j}$
2	4	$2\mathbf {i} -\mathbf {j}$	$\mathbf {i} +2\mathbf {j}$
3	3	$-\mathbf {i} +3\mathbf {j}$	$-3\mathbf {i} -\mathbf {j}$

Momento cinético

Respecto al origen

El momento cinético del sistema de partículas respecto al origen de coordenadas es

$\mathbf {L} _{0}=\sum _{i}\mathbf {L} _{Oi}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}$

Calculamos el momento cinético de cada partícula y sumamos

$i$	$m_{i}\,$ (kg)	$\mathbf {r} _{i}$ (m)	$\mathbf {v} _{i}$ (m/s)	$\mathbf {L} _{Oi}$ (kg m2/s)
1	5	$\mathbf {0}$	$\mathbf {0}$	$\mathbf {0}$
2	4	$3\mathbf {i}$	$3\mathbf {j}$	$36\mathbf {k}$
3	3	$4\mathbf {j}$	$-4\mathbf {i}$	$48\mathbf {k}$
Total	12			$84\mathbf {k}$

Respecto al CM

El momento cinético de un sistema de partículas respecto a un punto puede descomponerse en la forma

$\mathbf {L} _{O}=M\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}+\mathbf {L} _{C}$

siendo $M$ la masa total y $\mathbf {L} _{C}$ el momento cinético respecto al centro de masas. Despejando obtenemos en nuestro caso

$\mathbf {L} _{C}=\mathbf {L} _{O}-M\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}=84\mathbf {k} -12(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\times (-\mathbf {i} +\mathbf {j} )=60\mathbf {k}$

Este resultado también puede calcularse empleando las posiciones y velocidades relativas calculadas en la sección anterior.

Energía cinética

Respecto al origen

La energía cinética del sistema de partículas es

$K=\sum _{i}K_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$

Sustituyendo los valores de las masas y velocidades

$i$	$m_{i}\,$ (kg)	$\mathbf {v} _{i}$ (m/s)	$K_{i}$ (J)
1	5	$\mathbf {0}$	$0$
2	4	$3\mathbf {j}$	$18$
3	3	$-4\mathbf {i}$	$24$
Total	12		$42$

Respecto al CM

De manera análoga al momento cinético, la energía cinética se puede descomponer como

$K_{O}={\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}+K_{C}$

siendo $K_{C}$ la energía cinética medida respecto al centro de masas. Despejando obtenemos, en el SI,

$K_{C}=K_{O}-{\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}=42-{\frac {1}{2}}12(1+1)=30$

Este valor puede halalrse también empleando las velocidades relativas calculadas anteriormente

$K_{C}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{v'_{i}}^{2}={\frac {1}{2}}(5(1+1)+4(1+4)+3(9+1))=30$

Derivada de L y K

Del momento cinético

La derivada del momento cinético respecto al tiempo es la resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas sobre las partículas

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}\mathbf {M} _{Oi}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$

Cuando todas las fuerzas internas cumplen la tercera ley de Newton y además van en la dirección que une las dos partículas que interactúan, la suma de estos momentos es nula y el momento cinético se conserva

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0}$

De la energía cinética

A diferencia del momento cinético, la energía cinética no tiene por qué conservarse, incluso aunque el sistema se encuentre sometido solo a fuerzas internas. La derivada de la energía cinética la da la potencia de las fuerzas (totales, no solo externas) que actúan sobre las partículas

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}$

Hallamos cada potencia y sumamos

$i$	$\mathbf {F} _{i}$ (m)	$\mathbf {v} _{i}$ (m/s)	$P_{i}$ (w)
1	$90\mathbf {i} +120\mathbf {j}$	$\mathbf {0}$	0
2	$-180\mathbf {i} +120\mathbf {j}$	$3\mathbf {j}$	360
3	$90\mathbf {i} -240\mathbf {j}$	$-4\mathbf {i}$	−360
Total			0

Así pues, en este momento la energía cinética es estacionaria,

$\left.{\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}\right|_{t_{0}}=0$

pero esto no quiere decir que lo sea en todo instante. Es una consecuencia de los valores instantáneos de ls posiciones y las velocidades. Si éstas fueran otras, la energía cinética tendría derivada distinta de cero.

De hecho, este problema se puede resolver completamente (conocemos las fuerzas, las posiciones y las velocidades iniciales). Calculando la solución completa se puede ver que la energía cinética no es constante, sino que tiene un mínimo en el instante del enunciado (y por ello su derivada es cero). Representando esta energía para un periodo largo vemos que es una función oscilante de manera no uniforme