Dos partículas unidas por un oscilador armónico

Enunciado

Supongamos dos partículas de la misma masa $m$ unidas por un resorte de constante $k$ y longitud natural nula. Inicialmente ambas masas se encuentran en el mismo punto; y se le comunica a la partícula 2 una velocidad $v_{0}$ alejándola de la primera, mientras que la partícula 1 se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuál es el movimiento subsiguiente de ambas partículas?

Solución

Una vez que las dos masas se ponen en marcha, todas las fuerzas del sistema son internas (elásticas, debidas a la acción del muelle). las ecuaciones de movimiento para ambas partículas. Además, al estar dirigidas en la dirección de la recta que une las dos partículas, que es la misma de la velocidad inicial, resulta un movimiento unidimensional de ambas partículas.

Las ecuaciones de movimiento para ambas partículas son

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k(x_{1}-x_{2})$    $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k(x_{2}-x_{1})$

por ser de la misma masa, el centro de masas estará siempre en el punto medio de ambas partículas

$x_{C}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$

La ecuación de movimiento para el centro de masas es

$2m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{C}}{\mathrm {d} t^{2}}}=0$

por lo que el centro de masas sigue un movimiento uniforme

$x_{C}=x_{C0}+v_{C0}t\,$

siendo su posición y su velocidad iniciales

$x_{C0}={\frac {x_{10}+x_{20}}{2}}={\frac {0+0}{2}}=0$    $v_{C0}={\frac {v_{10}+v_{20}}{2}}={\frac {0+v_{0}}{2}}={\frac {v_{0}}{2}}$

por lo que el centro de masas se mueve como

$x_{C}={\frac {v_{0}}{2}}t\,$

Para obtener el movimiento de cada partícula por separado, consideramos la posición relativa al centro de masas

$x'_{1}=x_{1}-x_{C}\,$    $x'_{2}=x_{2}-x_{C}\,$

Cumpliéndose que

$mx'_{1}+mx'_{2}=0\,$  ⇒ $x'_{1}=-x'_{2}\,$

También se verifica que

$x_{1}-x_{2}=x_{C}+x'_{1}-x_{C}-x'_{2}=x'_{1}-x'_{2}=2x'_{1}\,$

La ecuación de movimiento para $x'_{1}$ es

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x'_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}-0=-k(x_{1}-x_{2})=-2kx'_{1}$

Por tanto, la posición relativa describe un movimiento armónico simple

$x'_{1}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t+\varphi )$     $\omega ={\sqrt {\frac {2k}{m}}}$

La amplitud y la fase la obtenemos de las condiciones iniciales

$0=x_{10}-x_{C0}=x'_{10}=A\,\mathrm {sen} \,\varphi$     $-{\frac {v_{0}}{2}}=v_{10}-v_{C0}=v'_{10}=A\omega \,\cos \varphi$

por lo que

$\varphi =\pi \qquad A={\frac {v_{0}}{2\omega }}$     $x'_{1}=-{\frac {v_{0}}{2\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

La posición de cada una de las partículas es entonces

$x_{1}={\frac {v_{0}}{2}}\left(t-{\frac {1}{\omega }}\,\mathrm {sen} (\omega t)\right)$    $x_{2}={\frac {v_{0}}{2}}\left(t+{\frac {1}{\omega }}\,\mathrm {sen} (\omega t)\right)$

y la velocidad

$v_{1}={\frac {v_{0}}{2}}\left(1-\cos(\omega t)\right)$    $v_{2}={\frac {v_{0}}{2}}\left(1+cos(\omega t)\right)$

La energía cinética de este sistema no permanece constante, sino que oscila en el tiempo

$K={\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}={\frac {mv_{0}^{2}}{4}}\left(1+\cos ^{2}(\omega t)\right)$

La energía cinética asociada al movimiento del centro de masas es

$K_{C}={\frac {1}{2}}(2m)v_{C}^{2}={\frac {mv_{0}^{2}}{4}}$

por lo que la parte de la energía cinética asociada al movimiento alrededor del centro de masas es

$K'={\frac {mv_{0}^{2}}{4}}\cos ^{2}(\omega t)$

Esta energía es la debida al movimiento de oscilación armónica que describen las partículas en torno al CM.