Supongamos dos partículas de la misma masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}
unidas por un resorte de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k}
y longitud natural nula. Inicialmente ambas masas se encuentran en el mismo punto; y se le comunica a la partícula 2 una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0}
alejándola de la primera, mientras que la partícula 1 se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuál es el movimiento subsiguiente de ambas partículas?
Solución
Una vez que las dos masas se ponen en marcha, todas las fuerzas del sistema son internas (elásticas, debidas a la acción del muelle). las ecuaciones de movimiento para ambas partículas. Además, al estar dirigidas en la dirección de la recta que une las dos partículas, que es la misma de la velocidad inicial, resulta un movimiento unidimensional de ambas partículas.
Las ecuaciones de movimiento para ambas partículas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2x_1}{\mathrm{d}t^2}=-k(x_1-x_2)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2x_2}{\mathrm{d}t^2}=-k(x_2-x_1)}
por ser de la misma masa, el centro de masas estará siempre en el punto medio de ambas partículas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C = \frac{x_1+x_2}{2}}
La ecuación de movimiento para el centro de masas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2m\frac{\mathrm{d}^2x_C}{\mathrm{d}t^2}=0}
por lo que el centro de masas sigue un movimiento uniforme
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C = x_{C0}+v_{C0}t\,}
siendo su posición y su velocidad iniciales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{C0} = \frac{x_{10}+x_{20}}{2}= \frac{0+0}{2}=0}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{C0}=\frac{v_{10}+v_{20}}{2}=\frac{0+v_0}{2}=\frac{v_0}{2}}
por lo que el centro de masas se mueve como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C = \frac{v_0}{2}t\,}
Para obtener el movimiento de cada partícula por separado, consideramos la posición relativa al centro de masas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'_1 = x_1 - x_C\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'_2= x_2-x_C\,}
Cumpliéndose que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mx'_1+mx'_2 =0\,}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'_1 = - x'_2\,}
También se verifica que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1-x_2 = x_C+x'_1-x_C-x'_2 = x'_1-x'_2 = 2x'_1\,}
La ecuación de movimiento para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'_1}
es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2x'_1}{\mathrm{d}t^2} = m\frac{\mathrm{d}^2x_1}{\mathrm{d}t^2} - 0 = -k(x_1-x_2) = -2kx'_1}
Por tanto, la posición relativa describe un movimiento armónico simple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'_1 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t + \varphi)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}}
La amplitud y la fase la obtenemos de las condiciones iniciales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = x_{10} - x_{C0} = x'_{10} = A\,\mathrm{sen}\,\varphi}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{v_0}{2} = v_{10}-v_{C0} = v'_{10}= A\omega\,\cos\varphi}
por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi=\pi \qquad A = \frac{v_0}{2\omega}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x'_1 = -\frac{v_0}{2\omega}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}
La posición de cada una de las partículas es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = \frac{v_0}{2}\left(t-\frac{1}{\omega}\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2 = \frac{v_0}{2}\left(t+\frac{1}{\omega}\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)}
y la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1 = \frac{v_0}{2}\left(1-\cos(\omega t)\right)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_2 = \frac{v_0}{2}\left(1+cos(\omega t)\right)}
La energía cinética de este sistema no permanece constante, sino que oscila en el tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{mv_0^2}{4}\left(1+\cos^2(\omega t)\right)}
La energía cinética asociada al movimiento del centro de masas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_C = \frac{1}{2}(2m)v_C^2 = \frac{mv_0^2}{4}}
por lo que la parte de la energía cinética asociada al movimiento alrededor del centro de masas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K' = \frac{mv_0^2}{4}\cos^2(\omega t)}
Esta energía es la debida al movimiento de oscilación armónica que describen las partículas en torno al CM.
