Centro de masas de sistemas continuos

Enunciado

Calcula la posición del centro de masas de estos sistemas

1. Una barra homogénea delgada de longitud $a$ y masa $m$.
2. Una barra de longitud $a$ y densidad lineal de masa $\lambda =Cx$, siendo $x$ la distancia a un extremo de la barra y $C$ una constante.
3. Una barra homogénea delgada en forma de semicírculo de radio $a$ y masa $m$.
4. Dos esferas macizas de masas $m_{1}$ y $m_{2}$ y radios $R$ y $2R$, unidas por un cilindro de masa $m_{3}$ y longitud $L$.
5. Una esfera maciza de radio $2b$, densidad homogénea $\rho _{0}$, con una cavidad también esférica, de radio $b$, cuyo centro se encuentra a una distancia $b$ del centro de la esfera original.

Solución

Para un sistema discreto la posición del centro de masas (CM) viene dada por la expresión

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}$

donde $m_{i}$ es la masa de cada partícula y ${\vec {r}}_{i}$ su vector de posición. Cuando tratamos con un sistema continua, la expresión se transforma según el cambio

$m_{i}\to \mathrm {d} m\qquad \qquad \qquad {\vec {r}}_{i}\to {\vec {r}}$

Así, en un sistema continuo la posición del centro de masas viene dada por la expresión

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}\,\mathrm {d} m}{\int \mathrm {d} m}}$

siendo ${\vec {r}}$ un vector que recorre cada uno de los puntos del sistema y $\mathrm {d} m$ la masa infinitesimal asociada a cada uno de esos puntos.

Barra recta homogénea

Consideramos el caso de una barra homogénea delgada de masa $m$ y longitud $a$. Lo primero que hay que hacer es escoger un sistema de ejes para describir la posición de cada punto de la barra. Elegimos el eje $OX$ de modo que coincida con la barra y situamos el origen en su extremo izquierdo. Con esta elección la posición de un punto genérico de la barra viene dada por el vector de posición

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}\qquad \mathrm {con} \qquad 0<x<a$

La variable $x$ es la etiqueta que identifica a cada punto de la barra.

Ahora consideramos que en cada punto de la barra hay un pequeño trocito de barra de longitud $\mathrm {d} x$ y masa $\mathrm {d} m$. La d delante de la $x$ y la $m$ sólo significa que la longitud del elemento y su masa son muy pequeñas. ¿Cuanto vale está masa?.

Como la barra es homogénea, podemos definir una densidad lineal de masa como el cociente de su masa total por su longitud

$\lambda ={\frac {m}{a}}$

Con esto, si el trocito de barra tiene una longitud $\mathrm {d} x$, su masa es

$\mathrm {d} m=\lambda \mathrm {d} x={\frac {m}{a}}\,\mathrm {d} x$

Ahora podemos calcular las integrales en la expresión de ${\vec {r}}_{CM}$. La integral en el denominador es la suma de las masas de todos los puntos que podemos considerar en la barra, esto es, su masa completa

$\int \mathrm {d} m=\int \limits _{0}^{a}\lambda \,\mathrm {d} x=\lambda \int \limits _{0}^{a}\mathrm {d} x=\lambda \,a=m$

La integral en el numerador es

$\int {\vec {r}}\,\mathrm {d} m=\int \limits _{0}^{a}(x\,{\vec {\imath }})\,\lambda \,\mathrm {d} x={\vec {\imath }}\lambda \int \limits _{0}^{a}x\,\mathrm {d} x={\vec {\imath }}\,\lambda \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{a}={\frac {1}{2}}\lambda \,a^{2}={\frac {1}{2}}m\,a$

El vector ${\vec {\imath }}$ y la densidad de masa $\lambda$ pueden salir de la integral pues no dependen de $x$, es decir, son iguales no importa en que punto de la barra estemos.

Con esto el vector de posición del CM de la barra respecto de su extremo izquierdo es

${\vec {r}}_{CM}={\frac {ma/2}{m}}{\vec {\imath }}={\frac {1}{2}}a\,{\vec {\imath }}$

Es decir, para encontrar el CM nos situamos en el extremo izquierdo de la barra y nos desplazamos hacia la derecha una longitud igual a la mitad de su longitud. El CM se sitúa en el centro de la barra. Esto es lógico, pues los ejes de simetría de la barra pasan todos por su centro, por lo que el CM debe situarse en él.

Barra recta con densidad variable

El procedimiento es similar al del apartado anterior. La posición de un elemento de longitud en la barra está dada por el vector

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}\qquad \mathrm {con} \qquad 0<x<a$

La diferencia es que ahora la masa de cada elemento de longitud es

$\mathrm {d} m=\lambda \mathrm {d} x=Cx\mathrm {d} x$

La masa total de la barra es la suma de las masas de todos los elementos de longitud

$m=\int \mathrm {d} m=\int \limits _{0}^{a}Cx\,\mathrm {d} x={\dfrac {1}{2}}Ca^{2}.$

La integral en el numerador de la expresión que da el vector de posición del centro de masas es

$\int {\vec {r}}\,\mathrm {d} m=\int \limits _{0}^{a}(x\,{\vec {\imath }})\,Cx\,\mathrm {d} x={\vec {\imath }}\,C\int \limits _{0}^{a}x^{2}\,\mathrm {d} x={\vec {\imath }}\,C\,\left[{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{a}={\frac {1}{3}}C\,a^{3}\,{\vec {\imath }}$

El vector ${\vec {\imath }}$ y la constante $C$ pueden salir de la integral pues no dependen de $x$, es decir, son iguales no importa en que punto de la barra estemos.

Con esto el vector de posición del CM de la barra respecto de su extremo izquierdo es

${\vec {r}}_{CM}={\frac {Ca^{3}/3}{Ca^{2}/2}}{\vec {\imath }}={\frac {2}{3}}a\,{\vec {\imath }}$

Es decir, para encontrar el CM nos situamos en el extremo izquierdo de la barra y nos desplazamos hacia la derecha una longitud igual a dos tercios de su longitud. Ahora el CM se desplaza hacia la derecha porque la densidad de masa es mayor para valores mayores de $x$.

Barra semicircular

Consideramos ahora el caso en que la barra tiene forma de semicírculo. De nuevo, consideramos pequeños elementos de línea a lo largo de la barra. Escogemos el origen del sistema de coordenadas en el centro del semicírculo, de modo que el eje $OX$ pase por los dos extremos de la semicircunferencia. Con estos ejes, la posición de un punto de la barra queda definida por un valor del ángulo $\theta$

${\vec {r}}(\theta )=a\cos \theta \,{\vec {\imath }}+a\,\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\jmath }}\qquad \qquad \mathrm {con} \qquad 0\leq \theta \leq \pi$

Cada elemento de línea tiene una longitud

$\mathrm {d} l=a\,\mathrm {d} \theta$

Como la barra es homogénea su densidad de masa es uniforme e igual a su masa dividida por su longitud

$\lambda ={\frac {m}{\pi \,a}}$

Con esto, la masa de cada elemento de línea es

$\mathrm {d} m=\lambda \,\mathrm {d} l=\lambda \,a\,\mathrm {d} \theta$

Podemos calcular la posición del centro de masas de la barra usando la expresión del apartado anterior. El numerador es

$\int {\vec {r}}\,\mathrm {d} m=\int \limits _{0}^{\pi }(a\cos \theta \,{\vec {\imath }}+a\,\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\jmath }})\lambda \,a\mathrm {d} \theta =\lambda \,a^{2}\left[\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\imath }}-\cos \theta \,{\vec {\jmath }}\right]_{0}^{\pi }=2\lambda \,a^{2}{\vec {\jmath }}$

Sustituyendo el valor de $\lambda$ obtenemos

$\int {\vec {r}}\,\mathrm {d} m={\frac {2}{\pi }}a\,m\,{\vec {\jmath }}$

El vector de posición del centro de masas es

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}\,\mathrm {d} m}{\int \mathrm {d} m}}={\frac {{\frac {2}{\pi }}a\,m}{m}}{\vec {\jmath }}={\frac {2}{\pi }}a\,{\vec {\jmath }}$

Debido a la simetría, el CM está en el diámetro vertical de la semicircunferencia. Como $(2/\pi )=0.637$, el CM está por debajo de la semicircunferencia, como se indica en la figura

Dos esferas con cilindro

Usaremos la técnica de asociación (o descomposición) para resolver este caso. Para calcular la posición del CM de un sistema continuo hay que hacer una integral definida. Recordemos que, en el fondo, una integral definida es una suma. Entonces se puede aplicar la propiedad distributiva de la suma. Esto significa que podemos dividir el sistema completo en subsistemas, y substituir cada subsistema por una masa puntual situada en el CM del subsistema y cuya masa sea igual a la masa total del subsistema.

En el caso del sistema que nos ocupa, cada una de las esferas se sustituye por una masa puntual situada en su centro. El cilindro se sustituye por una masa puntual situada en su centro. Sabemos que los CM de los subsistemas tienen que estar en esas posiciones por la simetría de la esfera y el cilindro.

Como se observa en la figura, escogemos el eje $X$ de modo que coincida con el eje de simetría del sistema y el origen $O$ coincidente con el centro de la esfera de la izquierda. Con esta elección el vector de posición de cada masa puntual es

${\begin{array}{l}{\vec {r}}_{1}=(3R+L)\,{\vec {\imath }},\\{\vec {r}}_{2}={\vec {0}},\\{\vec {r}}_{3}=(R+L/2)\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Por tanto, el vector de posición del CM del sistema en el sistema de referencia elegido es

${\vec {r}}_{CM}={\dfrac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+m_{3}{\vec {r}}_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}=\left((3R+L)m_{1}+\left(R+{\dfrac {1}{2}}L\right)m_{3}\right)\,{\vec {\imath }}.$

La posición aproximada del CM se muestra también en la figura.

Esfera con hueco esférico

Aplicamos la misma técnica para resolver esta configuración, aunque usando un pequeño truco. El sistema original tiene un eje de simetría que coincide con el eje $X$ mostrado en la figura. Por tanto, el CM tiene que estar en esa línea. Y probablemente estará a la izquierda de $O$, pues hay mas masa hacia la izquierda. Pero no podemos saber nada mas. La idea es sustituir el sistema por dos esferas homogéneas completas (sin huecos), de radios $2b$ y $b$, y con densidades volumétricas de masa $\rho _{1}$ y $\rho _{2}$. El truco está en el valor asignado a estas densidades de masa, a saber

$\rho _{1}=\rho _{0},\qquad \rho _{2}=-\rho _{0}.$

Puede resultar sorprendente considerar una esfera de masa negativa. La clave es darse de cuenta que este sistema con dos esferas da el mismo valor para la masa de un pequeño elemento de volumen que el sistema original. Para el elemento de volumen marrón de la figura tendríamos

$\mathrm {d} m=\rho _{1}\,\mathrm {d} V=\rho _{0}\,\mathrm {d} V,$

que es el valor que debe tener. Si es el elemento de volumen verde (en el hueco del sistema original) tendríamos

$\mathrm {d} m=\rho _{1}\,\mathrm {d} V+\rho _{2}\,\mathrm {d} V=(\rho _{0}-\rho _{0})\,\mathrm {d} V=0,$

que es el valor correcto para el hueco.

A continuación, cada esfera completa homogénea se sustituye por una masa puntual en su centro, por simetría. El valor de cada masa se obtiene multiplicando su densidad volumétrica de masa por su volumen

${\begin{array}{l}m_{1}=\rho _{1}\,V_{1}=\rho _{0}{\dfrac {4\pi }{3}}(2b)^{3}={\dfrac {32\pi }{3}}\rho _{0}b^{3},\\\\m_{2}=\rho _{2}\,V_{2}=-\rho _{0}{\dfrac {4\pi }{3}}b^{3}=-{\dfrac {4\pi }{3}}\rho _{0}b^{3}.\end{array}}$

Con el eje $X$ elegido en la figura el vector de posición de cada masa puntual es

${\vec {r}}_{1}={\vec {0}},\qquad {\vec {r}}_{2}=b\,{\vec {\imath }}.$

Entonces, el vector de posición del CM del sistema original es

${\vec {r}}_{CM}={\dfrac {m_{1}\,{\vec {r}}_{1}+m_{2}\,{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-{\dfrac {4\pi \rho _{0}b^{4}/3}{28\pi \rho _{0}b^{3}/3}}\,{\vec {\imath }}=-{\dfrac {1}{7}}\,b\,{\vec {\imath }}.$

Como esperábamos, el CM del sistema está a la izquierda del punto $O$.